[论文解读] Weak Hopf Algebras II: Representation theory, dimensions and the Markov trace

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Jun 8, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过将弱C*-霍普夫代数（WHA）的有限维酉表示范畴分析为一个张量C*-范畴，扩展了其表示理论。当余元非纯时，引入了矩阵值维数函数，并通过哈尔与马尔可夫条件期望导出了两个数值不变量——公共指标I与δ，证明在弱卡克斯代数中I = δ为整数，而在一般情况下I > δ。

ABSTRACT

If A is a weak C^*-Hopf algebra then the category of finite dimensional unitary representations of A is a monoidal C^*-category with monoidal unit being the GNS representation D_eps associated to the counit \eps. This category has isomorphic left dual and right dual objects which leads, as usual, to the notion of dimension function. However, if \eps is not pure the dimension function is matrix valued with rows and columns labelled by the irreducibles contained in D_eps. This happens precisely when the inclusions A^L < A and A^R < A are not connected. Still there exists a trace on A which is the Markov trace for both inclusions. We derive two numerical invariants for each C^*-WHA of trivial hypercenter. These are the common indices I and δ, of the Haar, respectively Markov conditional expectations of either one of the inclusions A^{L/R} < A and Adual^{L/R} < Adual. In generic cases I > δ. In the special case of weak Kac algebras we show that I=δis an integer.

研究动机与目标

• 发展弱C*-霍普夫代数（WHA）的表示理论，作为张量C*-范畴。
• 分析与余元ε相关的GNS表示D_ε的结构，特别是当ε非纯时的情形。
• 定义并研究来自表示范畴中对偶对象的矩阵值维数函数。
• 引入并计算由哈尔与马尔可夫条件期望导出的两个数值不变量I与δ。
• 确定I = δ成立的条件，特别是在弱卡克斯代数的背景下。

提出的方法

• 构建弱C*-霍普夫代数A的有限维酉表示范畴，作为以D_ε为张量单位的张量C*-范畴。
• 利用左对偶与右对偶对象的对偶性定义维数函数，当ε非纯时，该函数变为矩阵值。
• 识别出当ε非纯时，包含关系A^L < A与A^R < A为非连通的，从而导致矩阵值维数。
• 在A上引入一个迹，该迹同时作为A^L < A与A^R < A两个包含关系的马尔可夫迹。
• 将公共指标I与δ定义为哈尔与马尔可夫条件期望在任一包含关系下的指标。
• 将理论应用于弱卡克斯代数，证明在该特殊情形下I = δ为整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱C*-霍普夫代数的表示范畴作为张量C*-范畴时，其行为如何？
• RQ2 当余元ε非纯时，维数函数的性质是什么？它与标准标量值情形有何不同？
• RQ3 不变量I与δ是什么？它们与哈尔及马尔可夫条件期望有何关联？
• RQ4 在何种条件下I = δ成立？这对弱霍普夫代数的结构意味着什么？
• RQ5 在弱卡克斯代数情形下，I = δ是否为整数？这对它们的表示理论意味着什么？

主要发现

• 弱C*-霍普夫代数A的有限维酉表示范畴是一个以D_ε为张量单位的张量C*-范畴。
• 当余元ε非纯时，维数函数变为矩阵值，其行与列由D_ε中的不可约表示索引。
• 不变量I与δ被定义为哈尔与马尔可夫条件期望在包含关系A^L < A与A^R < A下的共同指标。
• 在一般情形下，指标I大于δ，表明包含格中存在非平凡结构。
• 对于弱卡克斯代数，不变量满足I = δ，且该共同值为整数。
• 存在一个A上的迹，其同时作为A^L < A与A^R < A两个包含关系的马尔可夫迹，确保了迹结构的一致性。