[论文解读] Weak invariance principle for the local times of Gibbs-Markov processes

Michael Bromberg|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了 Gibbs-Markov 过程局部时的函数弱不变性原理，证明在混合、保测度、均值为零、非周期性、Lipschitz 连续可观测量的 Gibbs-Markov 映射下，归一化局部时过程 $ l_n(x) $ 在分布上收敛于标准布朗运动的局部时。该结果可推广至具有 Gibbs 测度的有限型子移位。

ABSTRACT

The subject of this paper is to prove a functional weak invariance principle for the local time of a process generated by a Gibbs-Markov map. More precisely, let $\left(X,\mathcal{B},m,T,α ight)$ is a mixing, probability preserving Gibbs-Markov{ ormalsize{}. and let $φ\in L^{2}\left(m ight)$ be an aperiodic function with mean $0$. Set $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}X_{k}$ and define the hitting time process $L_{n}\left(x ight)$ be the number of times $S_{k}$ hits $x\in\mathbb {Z}$ up to step $n.$ The normalized local time process $l_{n}\left(x ight)$ is defined by $ l_{n}\left(t ight)=\frac{L_{n}\left(\left\lfloor \sqrt{n}x ight floor ight)}{\sqrt{n}},\,\, x\in\mathbb{R}$. We prove under that $l_{n}\left(x ight)$ converges in distribution to the local time of the Brownian Motion. The proof also applies to the more classical setting of local times derived from a subshift of finite type endowed with a Gibbs measure.

研究动机与目标

• 建立 Gibbs-Markov 过程局部时的函数弱不变性原理。
• 证明归一化局部时过程 $ l_n(x) $ 在分布上收敛于布朗运动的局部时。
• 将函数中心极限定理推广至具有 Gibbs-Markov 结构的动力系统的局部时层面。
• 验证 $ l_n $ 子序列的紧致性并识别其唯一极限，从而确认其收敛于布朗运动的局部时。

提出的方法

• 定义归一化局部时过程 $ l_n(x) = \frac{\#\{0 \leq k \leq n : S_k = \lfloor \sqrt{n}x \rfloor\}}{\sqrt{n}} $，其中 $ S_k $ 为可观测量 $ \varphi \in L^2(m) $ 的部分和。
• 利用转移算子 $ \hat{T} $ 及其在 $ L_{\infty,\beta} $ 上的拟紧性，分析系统的谱性质。
• 通过矩界和 Hölder 连续性估计，在右连左极函数的 Skorokhod 空间中建立 $ l_n $ 的紧致性。
• 通过 $ \nu_{\omega_n} $ 的逼近方法 $ \int l_n(x)dx $ 证明占据测度的收敛性，即 $ \nu_{\omega_n} - \int l_n(x)dx \overset{d}{\to} 0 $。
• 通过证明对所有 $ g \in \bigcup_k G_k $，投影 $ \pi_g(l_n) \to \pi_g(l) $，识别任意收敛子序列 $ l_n $ 的极限为布朗运动的局部时。
• 利用 Skorokhod 拓扑下占据时间泛函的连续性，以及 $ \omega_n \to \omega $ 的函数中心极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gibbs-Markov 系统的归一化局部时过程是否在分布上收敛于布朗运动的局部时？
• RQ2 在何种可观测量 $ \varphi $ 条件下，局部时层面的函数弱不变性原理成立？
• RQ3 在非周期性、均值为零、Lipschitz 连续可观测量的 Gibbs-Markov 动力学下，能否建立局部时过程 $ l_n $ 的紧致性？
• RQ4 布朗运动的局部时是否为 $ l_n $ 的唯一弱极限？如何通过区间上的投影识别该极限？
• RQ5 该结果在何种程度上可推广至配备 Gibbs 测度的有限型子移位？

主要发现

• 在所述条件下，归一化局部时过程 $ l_n(x) $ 在分布上收敛于标准布朗运动的局部时 $ l(x) $。
• 通过矩界和 Hölder 连续性估计建立了 $ l_n $ 的紧致性，确保其在右连左极函数空间中的相对紧致性。
• $ \nu_{\omega_n} $ 与 $ l_n $ 的积分之间的差在分布上收敛于零，确认 $ l_n $ 作为密度逼近的有效性。
• 任意收敛子序列 $ l_n $ 的极限几乎必然等于布朗运动的局部时，此结论通过区间上投影的收敛性得以证明。
• 证明依赖于 $ \omega_n \to \omega $ 的函数中心极限定理，以及 Skorokhod 拓扑下占据时间泛函的连续性。
• 该结果适用于配备 Gibbs 测度的有限型子移位，使其适用范围超越一般 Gibbs-Markov 映射。