[论文解读] Weak Kleene Algebra is Sound and (Possibly) Complete for Simulation

Ernie Cohen|ArXiv.org|Oct 6, 2009

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明了在单枝树语言理论完备性的假设下，弱克林代数（WKA）对正则表达式的模拟等价性是 sound 且 complete 的，为过程代数与形式语言理论中的基于模拟的程序等价性提供了基础性的等式公理化体系。

ABSTRACT

We show that the axioms of Weak Kleene Algebra (WKA) are sound and complete for the theory of regular expressions modulo simulation equivalence, assuming their completeness for monodic trees (as conjectured by Takai and Furusawa).

研究动机与目标

• 建立弱克林代数（WKA）为正则表达式在模拟等价性下的完整等式公理化体系。
• 通过将模拟等价性与代数结构关联，弥合过程代数与形式语言理论之间的鸿沟。
• 在假设 WKA 对单枝树语言完备的前提下，验证 WKA 的 soundness 与 completeness。
• 解决关于模拟等价性公理化的一些开放问题，与双生等价性尚未解决的情况形成对比。

提出的方法

• 通过使用一个新关系符号 R 的关系解释，证明 WKA 对模拟的 soundness，即所有 WKA 公理在模拟关系下保持不变。
• 使用最大模拟关系 ≤，并定义其自反传递闭包 ⪯，以分析公理下的封闭性。
• 采用关键的证明技术处理弱右归纳公理（13），依赖于 x′ 的有限性，并在 x′ 上构造一个完全的、传递的关系 Q，以证明 x′ y∗⪯x′。
• 利用正则表达式在单枝树语言上的解释，其中 I(x) 表示从 x 生成的项的集合。
• 通过项结构的归纳法，证明模拟等价性蕴含解释相等（I(x) = I(y)），在任意解释 I 下成立。
• 通过结合解释的 soundness 与假设的 WKA 在单枝树语言上的完备性，完成完备性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱克林代数对正则表达式的模拟等价性是否 sound？
• RQ2 在假设 WKA 对单枝树语言完备的前提下，WKA 是否可作为模拟等价性的完整等式公理化体系？
• RQ3 弱右归纳律（13）如何促进 soundness？为何 x′ 的有限性至关重要？
• RQ4 模拟等价性是否尊重单枝树语言中的解释？这一性质能否用于证明完备性？
• RQ5 在类似克林的代数中，模拟、双生与等式完备性之间存在何种关系？

主要发现

• WKA 公理对模拟等价性是 sound 的：若在 WKA 中可证 x = y，则 x 与 y 是模拟等价的。
• 在假设 WKA 对单枝树语言的等式理论完备的前提下，WKA 对模拟等价性的完备性成立。
• 弱右归纳公理（13）对 soundness 至关重要，其证明依赖于 x′ 的有限性，从而防止无限推导链的出现。
• 正则表达式在单枝树语言中的解释尊重模拟等价性：x = y 蕴含对所有解释 I 都有 I(x) = I(y)。
• 本文将模拟等价性的完备性归约为 WKA 在单枝树语言上的完备性，这一猜想此前由 Takai 和 Furusawa 提出。
• 弱右归纳律（13）的 soundness 证明涉及在 x′ 上构造一个完全的、传递的关系 Q，以证明 x′ y∗⪯x′，并利用了有限性与单调性。