[论文解读] Weak limit theorem for a nonlinear quantum walk

Masaya Maeda, Hironobu Sasaki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了具有依赖于局部概率振幅的非线性量子行走（NLQW）的弱极限定理。通过散射理论与谱分析，证明了归一化位置 $X_t/t$ 在分布上收敛于一个随机变量 $V$，其密度为 $\mu_V(dv) = w(v) f_K(v; |a|) \, dv$，其中 $w(v)$ 依赖于渐近态 $u_+$，$f_K$ 为 Konno 函数，将线性量子行走的极限行为推广至非线性情形。

ABSTRACT

This paper continues the study of large time behavior of a nonlinear quantum walk begun in arXiv:1801.03214. In this paper, we provide a weak limit theorem for the distribution of the nonlinear quantum walk. The proof is based on the scattering theory of the nonlinear quantum walk and the limit distribution is obtained in terms of its asymptotic state.

研究动机与目标

• 将弱极限定理（WLT）从线性量子行走扩展至非线性量子行走（NLQW），后者由于振幅依赖的量子比特门而表现出非幺正但范数保持的动力学。
• 刻画 NLQW 中归一化位置 $X_t/t$ 的大时间行为，类似于线性情形下 $X_t/t$ 在分布上收敛于一个极限随机变量。
• 利用散射理论与谱理论，建立 NLQW 的渐近态 $u_+$ 与行走者速度极限分布之间的联系。
• 将 Konno 函数 $f_K(v; |a|)$ 作为极限分布的基密度进行推广，其受来自渐近态的权函数 $w(v)$ 调制。

提出的方法

• NLQW 通过非线性演化算符 $U = S\hat{C}$ 定义，其中 $\hat{C}$ 是作用于 $\mathcal{H} = l^2(\mathbb{Z}; \mathbb{C}^2)$ 上的范数保持且振幅依赖的量子比特门算符。
• 动力学由 $u(t+1,x) = (\hat{P}u(t))(x+1) + (\hat{Q}u(t))(x-1)$ 描述，其中 $\hat{P}, \hat{Q}$ 为非线性映射，满足 $\hat{C} = \hat{P} + \hat{Q}$ 保持 $L^2$-范数。
• 应用散射理论：在弱非线性条件下，$U(t)u_0$ 散射至渐近态 $u_+$，即当 $t \to \infty$ 时有 $\|u(t) - U_0^t u_+\| \to 0$。
• 通过 $\mathbb{E}[e^{i\xi X_t/t}] = \langle U(t)u_0, e^{i\xi \hat{x}/t} U(t)u_0 \rangle$ 分析 $X_t/t$ 的特征函数，并将其极限与渐近速度算符 $\hat{v}_0$ 的谱测度联系起来。
• 渐近速度算符 $\hat{v}_0$ 通过傅里叶变换与谱分解定义，其本征值 $v_j(k)$ 由布洛赫本征值 $\lambda_j(k)$ 导出。
• 利用谱定理与恒等式 $G(\hat{v}_0) = \sum_{j,m} K_{j,m}^* \hat{G} K_{j,m}$ 推导出极限分布，其中 $K_{j,m}$ 为映射至速度域的积分算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有振幅依赖量子比特门的非线性量子行走中，位置 $X_t$ 的大时间分布行为如何？
• RQ2 能否建立类似于线性情形的非线性量子行走弱极限定理，使得 $X_t/t$ 在分布上收敛？
• RQ3 极限速度分布的函数形式如何依赖于渐近态 $u_+$ 与非线性量子比特结构？
• RQ4 Konno 函数 $f_K(v; |a|)$ 在非线性情形下如何出现？权函数 $w(v)$ 的作用是什么？

主要发现

• 归一化位置 $X_t/t$ 在 $t \to \infty$ 时依分布收敛于一个随机变量 $V$，从而确立了非线性量子行走的弱极限定理。
• 极限分布 $\mu_V$ 具有密度 $\mu_V(dv) = w(v) f_K(v; |a|) \, dv$，其中 $f_K$ 为 Konno 函数，$w(v)$ 依赖于渐近态 $u_+$。
• 权函数 $w(v)$ 显式表示为 $w(v) = \frac{1}{2} \sum_{j=1,2} \sum_{m=0,1} |(K_{j,m} u_+)(v)|^2$，其中 $K_{j,m}$ 通过傅里叶变换与逆布洛赫波函数定义。
• 渐近速度算符 $\hat{v}_0$ 由布洛赫本征值 $\lambda_j(k)$ 构造，其谱测度决定了极限分布。
• $X_t/t$ 的特征函数收敛于 $\langle u_+, e^{i\xi \hat{v}_0} u_+ \rangle$，该表达式等于 $\mu_V$ 的特征函数，从而证明了弱收敛性。
• 该结果通过渐近态 $u_+$ 引入非线性性，同时保持 Konno 函数作为底层核，从而推广了线性量子行走的极限定理。