[论文解读] Weak Multiplier Hopf Algebras II. The source and target algebras

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文研究了弱乘子霍普夫代数中的源代数和目标代数，证明了表示 $ \Delta(1) $ 的典范幂等元 $ E $ 属于乘子代数 $ M(B \otimes C) $，其中 $ B = \varepsilon_s(A) $ 且 $ C = \varepsilon_t(A) $，且 $ E $ 是一个可分幂等元。对于正则弱乘子霍普夫代数，$ E $ 是一个正则可分幂等元，且该构造可推广至从任意一对具有此类幂等元的非退化代数中构造新的弱乘子霍普夫代数，从而产生超越弱霍普夫代数的新例子。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of weak multiplier Hopf algebras. We recall the notions of the source and target maps $\varepsilon_s$ and $\varepsilon_t$, as well as of the source and target algebras. Then we investigate these objects further. Among other things, we show that the canonical idempotent $E$ (which is eventually $Δ(1)$) belongs to the multiplier algebra $M(B\otimes C)$ where $B=\varepsilon_s(A)$ and $C=\varepsilon_t(A)$ and that it is a separability idempotent. We also consider special cases and examples in this paper. In particular, we see how for any weak multiplier Hopf algebra, it is possible to make $C\otimes B$ (with $B$ and $C$ as above) into a new weak multiplier Hopf algebra. In a sense, it forgets the 'Hopf algebra part' of the original weak multiplier Hopf algebra and only remembers the source and target algebras. It is in turn generalized to the case of any pair of non-degenerate algebras $B$ and $C$ with a separability idempotent $E\in M(B\otimes C)$. We get another example using this theory associated to any discrete quantum group (a multiplier Hopf algebra of discrete type with a normalized cointegral). Finally we also consider the well-known 'quantization' of the groupoid that comes from an action of a group on a set. All these constructions provide interesting new examples of weak multiplier Hopf algebras (that are not weak Hopf algebras).

研究动机与目标

• 研究弱乘子霍普夫代数中源代数 $ \varepsilon_s(A) $ 与目标代数 $ \varepsilon_t(A) $ 的结构与性质。
• 分析位于 $ M(B \otimes C) $ 中的典范幂等元 $ E $ 的作用，其中 $ B = \varepsilon_s(A) $，$ C = \varepsilon_t(A) $，并证明其为可分幂等元。
• 从给定代数的源代数与目标代数出发，利用可分幂等元推广弱乘子霍普夫代数的构造方法。
• 将理论扩展至包含离散量子群与群胚量化的情形，产生新的非弱霍普夫代数例子。
• 探讨在非正则情形下可分幂等元存在的条件，特别是其与余积分和反极的关系。

提出的方法

• 本文采用弱乘子霍普夫代数的框架，其中 $ A $ 是一个无单位元的非退化代数，且 $ \Delta $ 是一个非退化的余乘积。
• 定义源映射与目标映射 $ \varepsilon_s, \varepsilon_t: A \to M(A) $，其像分别为源代数 $ B = \varepsilon_s(A) $ 与目标代数 $ C = \varepsilon_t(A) $。
• 证明位于 $ M(B \otimes C) $ 中的典范幂等元 $ E $ 满足可分性条件 $ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $，因此为可分幂等元。
• 在 $ C \otimes B $ 上构造一个新的弱乘子霍普夫代数，忽略原始霍普夫代数结构，但保留源代数与目标代数的数据。
• 将该理论应用于具有归一化余积分的离散量子群，若原始代数为离散类型的乘子霍普夫 ∗-代数，则可得到一个弱乘子霍普夫 ∗-代数。
• 本文推广了来自群胚作用的构造方法，并利用可分幂等元产生新例子，包括非弱霍普夫代数的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 典范幂等元 $ E $（定义为 $ \Delta(1) $）如何与源代数与目标代数的乘子代数 $ B \otimes C $ 相关联？
• RQ2 在何种条件下，位于 $ M(B \otimes C) $ 中的典范幂等元 $ E $ 为可分幂等元？其为正则幂等元的条件为何？
• RQ3 能否仅从其源代数与目标代数及 $ M(B \otimes C) $ 中的可分幂等元重建弱乘子霍普夫代数？
• RQ4 从具有归一化余积分的离散量子群出发，对构造新的弱乘子霍普夫 ∗-代数有何影响？
• RQ5 是否存在非正则的可分幂等元？其与乘子霍普夫代数中非幂等余积分（如满足 $ h^2 = 0 $ 者）有何关系？

主要发现

• 典范幂等元 $ E $（代表 $ \Delta(1) $）属于乘子代数 $ M(B \otimes C) $，其中 $ B = \varepsilon_s(A) $，$ C = \varepsilon_t(A) $，且满足可分性条件 $ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $。
• 对于正则弱乘子霍普夫代数，典范幂等元 $ E $ 是一个正则可分幂等元，即满足额外的非退化性与可逆性条件。
• 给定任意一对具有可分幂等元 $ E \in M(B \otimes C) $ 的非退化代数 $ B $ 与 $ C $，可在 $ C \otimes B $ 上构造一个新的弱乘子霍普夫代数，从而忽略原始霍普夫代数结构。
• 将此构造应用于离散量子群（即具有归一化余积分的离散类型乘子霍普夫代数）时，若原始代数为离散类型的乘子霍普夫 ∗-代数，则可得到一个弱乘子霍普夫 ∗-代数。
• 该构造亦适用于群胚量化，产生新的弱乘子霍普夫代数例子，其并非弱霍普夫代数。
• 本文指出，非正则可分幂等元仍为开放问题，特别是在余积分非幂等（如满足 $ h^2 = 0 $）的情形下。