[论文解读] Weak Multiplier Hopf Algebras. The main theory

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文将弱乘子霍普夫代数引入为乘子霍普夫代数和弱霍普夫代数的推广，其中余乘积定义在一个无单位元的非退化、幂等代数上，并通过 $ M(A\otimes A) $ 中的典范幂等元 $ E $ 满足余结合性。主要贡献在于构造了唯一的反极（antipode）并发展了完整的对偶理论，其中弱霍普夫代数是特例，而群胚代数则自然产生一对弱乘子霍普夫代数。

ABSTRACT

A weak multiplier Hopf algebra is a pair (A,Δ) of a non-degenerate idempotent algebra A and a coproduct $Δ$ on A. The coproduct is a coassociative homomorphism from A to the multiplier algebra M(A\otimes A) with some natural extra properties (like the existence of a counit). Further we impose extra but natural conditions on the ranges and the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 defined from A\otimes A to M(A\otimes A) by T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) and T_2(a\ot b)=(a\otimes 1)Δ(b). The first condition is about the ranges of these maps. It is assumed that there exists an idempotent element E\in M(A\otimes A) such that Δ(A)(1\ot A)=E(A\ot A) and (A\otimes 1)Δ(A)=(A\otimes A)E. The second condition determines the behavior of the coproduct on the legs of E. We require (Δ\otimes ι)(E)=(ι\otimesΔ)(E)=(1\otimes E)(E\ot 1)=(E\otimes 1)(1\otimes E) where $ι$ is the identity map and where $Δ\otimes ι$ and $ι\otimesΔ$ are extensions to the multipier algebra M(A\otimes A). Finally, the last condition determines the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 in terms of this idempotent E by a very specific relation. From these conditions we develop the theory. In particular, we construct a unique antipode satisfying the expected properties and various other data. Special attention is given to the regular case (that is when the antipode is bijective) and the case of a *-algebra (where regularity is automatic). Weak Hopf algebras are special cases of such weak multiplier Hopf algebras. Conversely, if the underlying algebra of a (regular) weak multiplier Hopf algebra has an identity, it is a weak Hopf algebra. Also any groupoid, finite or not, yields two weak multiplier Hopf algebras in duality.

研究动机与目标

• 通过放松典范映射 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的双射性条件，将乘子霍普夫代数和弱霍普夫代数的理论推广至非单位元、非退化代数。
• 利用 $ M(A\otimes A) $ 中的典范幂等元 $ E $ 定义一类新的霍普夫型结构——弱乘子霍普夫代数，通过 $ E $ 描述 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的像与核，以特定的像与核条件替代双射性。
• 证明在底层代数无单位元的情况下，仍存在满足标准反极恒等式的总反极 $ S $，且其唯一性成立。
• 证明当 $ S $ 双射时，弱乘子霍普夫代数（即正则情形）在取对偶代数下封闭，且群胚代数自然产生此类结构的一对对偶。
• 在非单位元情形下建立对偶性与对偶定理的理论框架，将霍普夫代数理论从单位元情形推广至更一般情形。

提出的方法

• 将弱乘子霍普夫代数定义为一对 $ (A, \Delta) $，其中 $ A $ 是非退化、幂等的代数，且 $ \Delta: A \to M(A\otimes A) $ 是一个满足特定像与核条件的余结合同态，这些条件通过 $ M(A\otimes A) $ 中的典范幂等元 $ E $ 表征。
• 施加像条件 $ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ 和 $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $，以确保 $ E $ 唯一，并刻画典范映射 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的像。
• 要求余结合性条件 $ (\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta $，并将其推广至乘子代数，其中 $ \Delta $ 扩展为 $ M(A) \to M(A\otimes A) $，满足 $ \Delta(1) = E $。
• 通过典范幂等元 $ E $ 引入核条件，确保 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的核恰好是 $ E $ 定义的左、右零化子，从而完成公理化结构。
• 构造唯一的反极 $ S: A \to A $，满足在乘子意义下 $ \Delta(a)(1\otimes S(a)) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $ 和 $ (S(a)\otimes 1)\Delta(a) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $，其中 $ \varepsilon $ 为余单位。
• 利用定理 2.9 的替代刻画，验证当 $ S $ 双射时，对偶代数 $ A^{\text{op}} $ 搭配相同的 $ \Delta $ 也构成弱乘子霍普夫代数，其反极为 $ S^{-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过使用典范幂等元 $ E $ 来刻画 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的像与核，将乘子霍普夫代数理论推广至非单位元代数，从而替代对典范映射双射性的要求？
• RQ2 在 $ A $ 中无单位元的情况下，余乘积 $ \Delta $ 与典范映射 $ T_1, T_2 $ 需满足何种条件，才能保证余结合性及唯一反极的存在？
• RQ3 当 $ (A, \Delta) $ 是正则的（即 $ S $ 双射）时，对偶代数 $ A^{\text{op}} $ 在何种条件下仍继承弱乘子霍普夫代数结构？
• RQ4 弱霍普夫代数与群胚代数如何融入此推广框架？会涌现出何种对偶关系？
• RQ5 在无单位元的推广设定下，反极是否仍可唯一构造，并证明其满足标准反极恒等式？

主要发现

• 存在唯一的典范幂等元 $ E \in M(A\otimes A) $，使得 $ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ 且 $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $，从而刻画了典范映射 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的像。
• 余乘积 $ \Delta $ 唯一地扩展为同态 $ \Delta: M(A) \to M(A\otimes A) $，且满足 $ \Delta(1) = E $，这推广了乘子霍普夫代数中的扩展。
• 反极 $ S $ 存在且唯一，其在乘子意义下满足标准反极恒等式，即使 $ A $ 无单位元也成立。
• 典范幂等元 $ E $ 满足双特征条件 $ (\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E) = (1\otimes E)(E\otimes 1) = (E\otimes 1)(1\otimes E) $，确保余结合性并保证与余乘积的相容性。
• 在正则情形（即 $ S $ 双射）下，对偶代数 $ A^{\text{op}} $ 搭配相同的 $ \Delta $ 再次构成弱乘子霍普夫代数，其反极为 $ S^{-1} $，证明了该结构在取对偶代数下封闭。
• 弱霍普夫代数是弱乘子霍普夫代数的特例；若正则弱乘子霍普夫代数的底层代数有单位元，则其为弱霍普夫代数。
• 群胚代数（有限或无限）自然产生一对弱乘子霍普夫代数，为该理论提供了丰富的例子来源。