[论文解读] Weak normality of families of meromorphic mappings and bubbling in higher dimensions

S. Ivashkovich, Fethi Neji|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文研究了复流形之间亚纯映射族的弱收敛与γ收敛，证明在特定条件下其正规性集合为拟凸集。研究识别出弱/γ极限中的例外分支为有理连通分支，从而可检测强收敛失败的原因；并提供了在紧致复曲面上亚纯自映射的Fatou集中的应用。

ABSTRACT

Minor corrections, to appear in Annali SNS.

研究动机与目标

• 确定在不同收敛类型下，亚纯映射族的正规性集合是否为拟凸集。
• 分析弱收敛与γ收敛序列中因强收敛失败而产生的例外分支的结构。
• 通过极限分支的几何性质表征强收敛失败的原因。
• 将结果应用于紧致复曲面上亚纯自映射的动力系统，特别是与Fatou集的关系。

提出的方法

• 引入并比较三种收敛类型：强收敛、弱收敛（w-收敛）与γ收敛（Γ-收敛），强调其拓扑与几何性质。
• 利用Hausdorff度量中的图收敛与周期拓扑分析收敛行为。
• 通过齐次坐标下的射影表示，将收敛性描述为局部全纯代表元的一致收敛。
• 利用除子的原像的体积界以及Kähler形式的拉回积分，检测极限中的泡化与非退化性。
• 通过在奇点处的爆破分析，研究在例外曲线上的动力行为，特别是在Nori弦的背景下。
• 使用高次有理映射的显式例子，展示泡化现象与非平凡的极限结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱收敛或γ收敛族的正规性集合是否为拟凸集？
• RQ2 弱/γ极限中的例外分支具有何种几何结构？
• RQ3 在何种条件下，弱收敛或γ收敛序列会失败于强收敛？
• RQ4 泡化在亚纯映射极限中如何表现，其对动力系统意味着什么？
• RQ5 亚纯自映射的Fatou集在多大程度上与强正规性或弱正规性集合一致？

主要发现

• 对于一大类目标流形，弱收敛与γ收敛的正规性集合为拟凸集。
• 弱收敛与γ收敛极限中的例外分支为有理连通分支，这表征了强收敛失败的原因。
• 当Kähler形式的拉回具有非退化的总质量时，即使该形式本身的拉回退化，泡化仍会发生。
• 在d次映射的例子中，Kähler形式拉回的积分为正则远离零，表明在某个圆盘上持续存在泡化。
• 在奇点处经多次爆破后，揭示出一串Nori型的有理曲线，且映射将最终的例外曲线双射地映到一条具有重数的直线。
• 对于代数稳定映射，根据Maegawa的结果，Fatou集与强正规性集合一致。