[论文解读] Weak Omega Categories I

Carl A. Futia|ArXiv.org|Apr 11, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于ω-麦格玛的张量图的弱ω-范畴的新理论，该理论概念上简洁：即通过从ω-麦格玛到严格ω-范畴的张量图来强制实现一致性。其关键贡献在于，Baez-Dolan稳定化假说可直接从定义中推出；该框架自然推广了双范畴、严格ω-范畴以及Penon的弱ω-范畴，并定义了一种弱等价概念，其在低维情形下退化为范畴等价。

ABSTRACT

We develop a theory of weak omega categories that will be accessible to anyone who is familiar with the language of categories and functors and who has encountered the definition of a strict 2-category. The most remarkable feature of this theory is its simplicity. We build upon an idea due to Jacques Penon by defining a weak omega category to be a span of omega magmas with certain properties. (An omega magma is a reflexive, globular set with a system of partially defined, binary composition operations which respects the globular structure.) Categories, bicategories, strict omega categories and Penon's weak omega categories are all instances of our weak omega categories. We offer a heuristic argument to justify the claim that Batanin's weak omega categories also fit into our framework. We show that the Baez-Dolan stabilization hypothesis is a direct consequence of our definition of weak omega categories. We define a natural notion of a pseudo-functor between weak omega categories and show that it includes the classical notion of a homomorphism between bicategories. In any weak omega category the operation of composition with a fixed 1-cell defines such a pseudo-functor. Finally, we define a notion of weak equivalence between weak omega categories which generalizes the standard definition of an equivalence between ordinary categories.

研究动机与目标

• 开发一种新的、易于理解的弱ω-范畴理论，避免使用操作符或单子等高级工具。
• 在统一框架内推广现有概念，如双范畴、严格ω-范畴以及Penon的弱ω-范畴。
• 证明Baez-Dolan稳定化假说可直接由所提出的定义推出。
• 定义弱ω-范畴之间自然的伪函子概念，其包含经典双范畴之间的同态。
• 引入一种弱等价概念，其推广了范畴等价，并在低维情形下退化为标准概念。

提出的方法

• 将ω-麦格玛定义为具有部分定义的二元复合运算的反射性、球状集合，且该运算尊重球状结构。
• 将弱ω-范畴定义为从范畴到严格ω-范畴的ω-麦格玛的张量图，满足特定的一致性公理。
• 采用Penon的思想，通过张量图表示弱结构，以等价性而非严格等式来编码一致性。
• 引入“温和的ω-伪函子”作为经典双范畴之间伪函子的自然推广。
• 通过诱导映射在路径范畴（ΠF 和 ΠF(a,b)）上为同构来定义弱等价，对所有相关细胞成立。
• 证明固定1-细胞的复合运算可诱导出一个温和的ω-伪函子，推广了经典行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖操作符或单子的前提下，发展出一种简单且易于理解的弱ω-范畴理论？
• RQ2 Baez-Dolan稳定化假说是否可自然地从弱ω-范畴的新定义中推出？
• RQ3 ω-麦格玛的张量图框架能否捕捉到已知例子，如双范畴和Penon的弱ω-范畴？
• RQ4 如何定义一种广义的伪函子概念，使其包含经典双范畴函子？
• RQ5 在此设定下，弱等价的定义是什么？其在低维情形下是否退化为标准概念？

主要发现

• Baez-Dolan稳定化假说可直接由所提出的弱ω-范畴定义推出。
• 温和的ω-伪函子范畴包含所有n-骨架弱ω-范畴的全子范畴，且其本身包含弱ω-范畴范畴作为子范畴。
• 在弱ω-范畴中，与固定1-细胞的复合运算可定义一个温和的ω-伪函子，推广了经典行为。
• 1-骨架弱ω-范畴之间的弱等价在底层1-范畴上诱导出范畴等价，2-骨架情形亦然。
• ω-等价由诱导映射在路径范畴上为同构来刻画；内部等价（如与单位细胞的复合）是ω-等价。
• 若一个i-细胞是内部等价，则其关联的ω-伪函子是ω-等价，确认了其与预期范畴行为的一致性。