[论文解读] Weak Rigidity Theory and its Application to Multi-agent Formation Stabilization

Gangshan Jing, Guofeng Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Structural Analysis and Optimization参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出弱刚性理论，通过使用代理间位移向量的成对内积而非距离来稳定多智能体构型，从而在更少约束下实现构型控制。该文提出一种基于梯度和非梯度的控制律，可在感知图非刚性时仍确保局部指数稳定，且仅需最低限度的感知信息，提供一种无需通信的分布式解决方案，适用于无GPS环境。

ABSTRACT

This paper introduces the notion of weak rigidity to characterize a framework by pairwise inner products of inter-agent displacements. Compared to distance-based rigidity, weak rigidity requires fewer constrained edges in the graph to determine a geometric shape in an arbitrarily dimensional space. A necessary and sufficient graphical condition for infinitesimal weak rigidity of planar frameworks is derived. As an application of the proposed weak rigidity theory, a gradient based control law and a non-gradient based control law are designed for a group of single-integrator modeled agents to stabilize a desired formation shape, respectively. Using the gradient control law, we prove that an infinitesimally weakly rigid formation is locally exponentially stable. In particular, if the number of agents is one greater than the dimension of the space, a minimally infinitesimally weakly rigid formation is almost globally asymptotically stable. In the literature of rigid formation, the sensing graph is always required to be rigid. Using the non-gradient control law based on weak rigidity theory, the sensing graph is unnecessary to be rigid for local exponential stability of the formation. A numerical simulation is performed for illustrating effectiveness of our main results.

研究动机与目标

• 解决在无GPS环境下的多智能体构型稳定问题，此时无法使用全局定位和智能体间通信。
• 克服基于距离的刚性理论的局限性，后者要求图具有刚性结构并依赖全局坐标系。
• 设计一种仅依赖于每个智能体局部坐标系中相对位移测量的分布式构型控制策略。
• 为平面内无穷小弱刚性建立图形条件，以实现构型稳定性的高效验证。
• 设计控制律，即使感知图非刚性，也能确保局部指数稳定，从而减少网络信息流与系统成本。

提出的方法

• 提出弱刚性作为框架表征方法，利用代理间位移向量的成对内积，其对几何形状的约束少于基于距离的刚性理论。
• 通过基于三角形的边集和弱刚性矩阵的秩分析，推导出平面内无穷小弱刚性的必要且充分的图形条件。
• 设计一种基于梯度的控制律，采用基于内积偏差的代价函数，并选择增益矩阵以确保局部指数稳定。
• 提出一种非梯度控制律，可在弱刚性感知图下稳定构型，避免对图具有刚性的需求，从而降低通信开销。
• 利用矩阵填充与秩分析验证无穷小弱刚性，特别关注捕捉弱刚性条件的矩阵 $ ar{R}_w^* $ 的秩。
• 通过6个智能体构成正六边形的数值仿真，采用路径图作为感知图，验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可仅使用局部坐标系中的相对位移测量，无需全局坐标系或智能体间通信，实现构型稳定？
• RQ2 为确保平面内框架为无穷小弱刚性，所需内积位移的最小约束集是什么？
• RQ3 与基于距离的刚性相比，弱刚性在图连通性要求和约束数量方面有何差异？
• RQ4 当感知图非刚性时，是否可通过非梯度控制律实现期望构型的局部指数稳定？
• RQ5 在弱刚性条件下，何种增益矩阵条件可确保非梯度控制方案的指数稳定？

主要发现

• 通过基于三角形的边集，推导出平面内无穷小弱刚性的必要且充分的图形条件，实现无需计算刚性矩阵秩的高效验证。
• 对于基于梯度的控制律，无穷小弱刚性构型具有局部指数稳定性，收敛性通过雅可比矩阵的特征值分析得到验证。
• 当智能体数量比空间维数多1时（例如2D空间中的3个智能体），最小无穷小弱刚性构型可实现几乎全局渐近稳定。
• 非梯度控制律即使在感知图非刚性时仍能实现局部指数稳定，表明弱刚性已足够且比基于距离的刚性更宽松。
• 在仿真中，当非对称增益矩阵 $ K $ 时，雅可比矩阵 $ J^* $ 的所有特征值均位于开左半平面，仅三个为零，确认了局部指数稳定。
• 数值结果表明，基于内积偏差的代价函数 $ V $ 指数衰减至零，边长收敛至期望值2，验证了控制律性能。