[论文解读] Weak* sequential closures in Banach space theory and their applications

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文研究可分巴拿赫空间对偶空间中的弱*序列闭包，确立了子空间在特定序数阶段实现闭包的条件。证明了对任意可数序数 α，存在 (c₀)* = ℓ₁ 中的子空间，其弱*序列闭包在序数 α 阶达到闭包，且将此结果应用于在 Borel 层次中对线性算子的逆进行分类。

ABSTRACT

Let X be a Banach space. Given a subset A of the dual space X* denote by $A_{(1)}$ the weak* sequential closure of A, i.e., the set of all limits of weak*-convergent sequences in A. The study of weak* sequential closures of linear subspaces of the duals of separable Banach spaces was initiated by S.Banach. The first results of this study were presented in the appendix to his book "Theorie des operations lineaires" (1932). It is natural to suppose that the reason for studying weak* sequential closures by S. Banach and S. Mazurkiewicz was the lack of acquaintance of S. Banach and his school with concepts of general topology. Although the name "General topology" was introduced later, the subject did already existed. F. Hausdorff introduced topological spaces in his book published in 1914, Alexandroff-Urysohn (1924) studied compactness, and A.Tychonoff published his theorem on compactness of products in 1929. Also J.von Neumann introduced the notion of a weak topology in his paper published in 1929. Using the notions of a topological space and the Tychonoff theorem, more elegant treatment of weak and weak* topologies, and the duality of Banach spaces was developed by L.Alaoglu, N.Bourbaki and S.Kakutani (1938-1940). Nevertheless, an "old-fashioned" treatment of S.Banach still attracts attention. It happens because the "sequential" approach is very useful in several contexts. The main purpose of the paper is to describe the history of this direction of research and to give an up-to-date (1999) survey of the results on weak* sequential closures and their applications.

研究动机与目标

• 研究可分巴拿赫空间对偶空间中全子空间的弱*序列闭包结构，动机源于调和分析、不适定问题与算子理论中的应用。
• 解决巴纳赫提出的一个开放问题：子空间的弱*序列闭包是否总是对进一步的序列极限封闭。
• 刻画在可分巴拿赫空间的对偶中，子空间在给定序数阶段实现弱*序列闭包的条件。
• 建立弱*序列闭包阶与连续线性算子逆的 Borel 复杂度之间的联系。
• 提供在函数空间（特别是 L₁(0,1) 及相关空间）中存在任意大弱*序列闭包阶子空间的充分条件。

提出的方法

• 使用弱*序列闭包的超限迭代：定义 A_(α) 为所有 β < α 的 (A_(β))_(1) 的并集，从子空间 A ⊂ X* 开始。
• 应用巴纳赫准则：A = A_(1) 在 X* 中当且仅当对每个 f ∈ X* ∓ A，存在 x ∈ X 满足 f(x) = 1 且对所有 a ∈ A 有 a(x) = 0。
• 利用存在统一有界常数 M，使得对每个 x ∈ X，存在 f ∈ A 满足 ||f|| ≤ M 且 |f(x)| = ||x||，来刻画 A_(1) = X* 的条件。
• 通过在子空间 L ⊂ F* 的单位球中构造弱*稠密序列，构造具有解析核的积分算子 T: F → G，使得其逆具有预设的 Borel 类。
• 利用函数在包含 [0,1] 的公共区域 Δ 上的解析延拓与有界性，将 F 嵌入 L₁(0,1)，并在 F* 上生成泛函。
• 应用对偶性论证：将 F 的元素识别为 U ⊂ F* 上的泛函，形成 W ⊂ U* 的子空间，并利用 cl(W) 在 U* 中的无限余维，确保存在任意闭包阶的子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对给定的可数序数 α，是否存在子空间 A ⊂ (c₀)* = ℓ₁，使得 A_(α) ≠ A_(α+1)？
• RQ2 在可分巴拿赫空间 F 及其对偶子空间 U ⊂ F* 满足何种条件下，U 对每个可数序数 α 都包含弱*序列闭包阶为 α 的全子空间？
• RQ3 能否通过 F* 中子空间的弱*序列闭包阶来刻画连续单射线性算子 T: F → G 的逆的 Borel 复杂度？
• RQ4 在何种条件下，全子空间 L ⊂ F* 的弱*序列闭包可达到给定的序数阶段 α？
• RQ5 如何利用弱*序列闭包构造具有预设 Borel 类逆的积分算子？

主要发现

• 对每个可数序数 α，存在子空间 A ⊂ (c₀)* = ℓ₁，使得 A_(α) ≠ A_(α+1)，确认了存在具有任意高弱*序列闭包阶的子空间。
• 对可分巴拿赫空间 X 的子空间 A ⊂ X*，有 A = A_(1) 当且仅当对每个 f ∈ X* ∓ A，存在 x ∈ X 满足 f(x) = 1 且对所有 a ∈ A 有 a(x) = 0。
• A_(1) = X* 的充要条件是存在一个统一的常数 M > 0，使得对每个 x ∈ X，存在 f ∈ A 满足 ||f|| ≤ M 且 |f(x)| = ||x||。
• 若 F 在 F* 下的对偶像在 U* 中的闭包具有无限余维，则 U 对每个可数序数 α 都包含弱*序列闭包阶为 α 的全子空间。
• 若全子空间 L ⊂ U 的阶为 α，且函数空间 G 满足解析延拓条件，则存在一个积分算子 T: F → G，其核为解析函数，使得 T⁻¹ 属于 Borel 类 α 但不属于任何更低的类。
• 该结果推广了梅尼克斯与普利科的早期构造，表明存在具有无限次可微核且其逆不属于 Borel 类 1 的积分算子。