[论文解读] Weak solution for compressible fluid models of Korteweg type

Boris Haspot|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文在一维和二维空间中建立了可压缩等温Korteweg流体模型的全局弱解的存在性，避免了对 $1/\rho$ 有界的假设（即无需真空控制）。在一维情形下，通过分数阶拉普拉斯估计和紧致性论证，证明了能量空间中有限时间内的强收敛；在二维情形下，全局存在性要求 $1/\rho \in L^\infty$。

ABSTRACT

This work is devoted to proving existence of global weak solutions for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985) \cite{3DS}, which can be used as a phase transition model. We distinguish two cases when the dimension N=2 and N=1, in the first case we need that $\frac{1}ρ\in L^{\infty}$, when N=1 we get a weak solution in finite time in the energy space.

研究动机与目标

• 建立具有毛细作用的一般等温Korteweg流体模型的全局弱解存在性。
• 在存在性理论中去除先前工作中必需的限制性假设 $1/\rho \in L^\infty$（即真空控制）。
• 在一维情形下，利用改进的正则性估计，证明近似解在能量空间中的有限时间强收敛。
• 通过Orlicz空间和分数阶Sobolev嵌入，提出一种处理非线性毛细项 $\kappa\rho\nabla\Delta\rho$ 的新方法。

提出的方法

• 使用满足弱形式Korteweg系统 (1.1) 的近似解 $(\rho_n, u_n)$。
• 在Orlicz空间中应用能量估计，以控制 $\Pi(\rho)$ 和 $\nabla\rho$ 项。
• 应用分数阶拉普拉斯 $\Lambda^s$（其中 $0 < s \leq 1$）以在 $\rho^2$ 上获得正则性，从而控制 $\partial_x\rho \otimes \partial_x\rho$。
• 利用Sobolev嵌入和复合定理，证明 $\rho^2 \in L^\infty(H^1)$ 且 $\Lambda^s\rho^2 \in L^\infty(L^\infty)$ 对于 $s < 1/2$。
• 应用Aubin-Lions引理和Dini定理，证明 $\partial_x\rho_n$ 在 $L^2$ 中的一致收敛性，并通过截断函数控制真空。
• 对 $\phi \partial_x\rho_n$（其中 $\phi \in C_0^\infty$）应用紧致性论证，以在非线性项中取极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 $1/\rho \in L^\infty$ 的条件下，Korteweg系统是否存在全局弱解？
• RQ2 在一维情形下，通过分数阶拉普拉斯估计，$\rho$ 能获得何种正则性增益？
• RQ3 在存在真空的情况下，如何为 $\partial_x\rho_n$ 建立紧致性？
• RQ4 在分布极限中，能否在不假设 $\rho$ 属于 $L^\infty$ 的条件下处理毛细项 $\kappa\rho\nabla\Delta\rho$？
• RQ5 在 $N=1$ 情形下，初始数据满足何种条件可保证近似解在能量空间中强收敛？

主要发现

• 在一维情形下，论文在有限时间区间 $(0,T)$ 内证明了弱解的存在性，无需假设 $1/\rho \in L^\infty$，并利用 $\Lambda^s$ 估计实现了导数的增益。
• 对于 $N=1$，在能量空间初始数据假设下，序列 $\partial_x\rho_n$ 强收敛于 $\partial_x\rho$ 在 $L^2(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ 中。
• 论文表明 $\rho \in L^\infty(H^1)$ 且 $\Lambda^s\rho^2 \in L^\infty(L^\infty)$ 对于 $0 < s < 1/2$，从而能够控制非线性项 $\int |\partial_x\rho|^2 |\Lambda^s\rho^2|$。
• 对于小初值，论文在 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 上证明了全局存在性，并且 $\partial_x\rho_n$ 强收敛于 $\partial_x\rho$ 在 $L^2(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ 中。
• 通过截断函数和Dini定理处理真空，证明 $\|\partial_x\rho_n\|_{L^2}$ 在无穷远处一致有界。
• 在 $N=2$ 情形下，全局存在性在附加假设 $1/\rho \in L^\infty$ 下得以建立，而此条件在一维情形下并非必需。