[论文解读] Weak solutions for Euler systems with non-local interactions

José A. Carrillo, Eduard Feireisl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 60被引用 27

一句话总结

本文通过凸积分法证明了二维Savage-Hutter系统在无能量耗散条件下存在无穷多组弱解，揭示了其非唯一性。然而，当引入能量不等式时，证明了弱-强唯一性，表明耗散性解在物理上是可接受的，并且由初始数据唯一确定。

ABSTRACT

We consider several modifications of the Euler system of fluid dynamics, including its pressureless variant driven by non-local interaction repulsive-attractive and alignment forces in the space dimension N = 2, 3. These models arise in the study of self-organization in collective behavior modeling of animals and crowds. We adapt the method of convex integration to show the existence of infinitely many global-in-Time weak solutions for any bounded initial data. Then we consider the class of dissipative solutions satisfying, in addition, the associated global energy balance (inequality).We identify a large set of initial data for which the problem admits infinitely many dissipative weak solutions. Finally, we establish a weak-strong uniqueness principle for the pressure-driven Euler system with non-local interaction terms as well as for the pressurelesssystem with Newtonian interaction.

研究动机与目标

• 解决二维Savage-Hutter系统弱解存在性与唯一性的开放问题，该系统是描述具有库仑摩擦的重力驱动雪崩的双曲型系统。
• 研究弱解是否唯一，特别是当存在非光滑、多值摩擦项时。
• 确定能量耗散是否能够恢复弱解的唯一性与物理一致性。
• 将凸积分法扩展至具有非局部、多值摩擦项及非恒定系数的系统。
• 通过相对能量方法建立弱-强唯一性原理，确保耗散性解的物理相关性。

提出的方法

• 应用凸积分法，为任意有限能量初始数据构造无穷多组弱解，绕过因冲击波与奇点导致的经典解失效问题。
• 通过变系数变换与Helmholtz分解，将Savage-Hutter系统重写为类似于不可压缩Euler方程的形式。
• 利用带振荡扰动的次解框架生成弱解，依赖于振荡引理（引理2.1）与Jensen不等式。
• 将能量不等式（3.2）作为选择准则，以排除非物理振荡解，确保热力学一致性。
• 采用Dafermos与Vasseur提出的相对能量方法，证明弱-强唯一性，将耗散性弱解与光滑强解进行比较。
• 利用Gronwall不等式控制误差项，表明相对能量趋于零，从而推出弱解与强解几乎处处相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 Savage-Hutter系统是否能为任意光滑、有限能量初始数据生成无穷多组弱解，即使其具有双曲型、非守恒性质？
• RQ2 多值摩擦项（u/|u|）是否阻碍弱解的存在？凸积分法能否克服此问题？
• RQ3 能量不等式是否足以恢复弱解类中的唯一性，从而消除非物理振荡？
• RQ4 相对能量方法能否被适配以证明具有非局部、非光滑摩擦项系统的弱-强唯一性？
• RQ5 耗散性弱解是否由初始数据唯一确定？当经典解存在时，其是否与经典解一致？

主要发现

• 对于任意光滑、有限能量初始数据，二维Savage-Hutter系统初值问题均存在无穷多组弱解，即使存在非局部、多值摩擦项。
• 凸积分法成功处理了摩擦项的非光滑性，通过将其表示为能量标量函数与动量线性函数的乘积，确保弱连续性。
• 通过凸积分构造的解在t=0时刻可能违反能量平衡，表现出总能量的跳跃，因此为非物理解。
• 施加能量不等式（3.2）可消除此类非物理解，确保热力学一致性。
• 满足能量不等式的耗散性弱解由初始数据唯一确定，只要强解存在，其即与强解完全一致。
• 相对能量方法导出Gronwall型估计，证明相对能量恒为零，从而推出在(0,T)×Ω几乎处处有h=H且u=U。