[论文解读] Weak vorticity formulation for the incompressible Euler equations in domains with boundary

Dragoş Iftimie, Milton C. Lopes Filho+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了二维不可压缩欧拉方程在具有边界的区域中的弱涡量形式，使得涡量和边界环量可作为动力变量使用。该研究在无需对初始涡量符号作假设的前提下，建立了弱速度形式与弱涡量形式之间的等价性，并证明了非负涡量可被边界吸收但无法生成，且环量守恒意味着更强的解性质。

ABSTRACT

In this article we examine the interaction of incompressible 2D flows with compact material boundaries. Our focus is the dynamic behavior of the circulation of velocity around boundary components and the possible exchange between flow vorticity and boundary circulation in flows with vortex sheet initial data We begin by showing that the velocity can be uniquely reconstructed from the vorticity and boundary component circulations, which allows to recast 2D Euler evolution using vorticity and the circulations as dynamic variables. The weak form of this vortex dynamics formulation of the equations is called the weak vorticity formulation. The main result in this article is the equivalence between the weak velocity and weak vorticity formulations, without sign assumptions. Next, we focus on weak solutions obtained by mollifying initial data and passing to the limit, with the portion of vorticity singular with respect to the Lebesgue measure assumed to be nonnegative. For these solutions we prove that the circulations around each boundary component cannot be smaller than the initial data circulation, so that nonnegative vorticity may be absorbed by the boundary, but not produced by the boundary. In addition, we prove that if the weak solution conserves circulation at the boundary components it is a boundary coupled weak solution, a stronger version of the weak vorticity formulation. We prove existence of a weak solution which conserves circulation at the boundary components if the initial vorticity is integrable. In addition, we discuss the definition of the mechanical force which the flow exerts on material boundary components and its relation with conservation of circulation. Finally, we describe the corresponding results for a bounded domain with holes, and the adaptations required in the proofs.

研究动机与目标

• 在具有紧致物质边界的区域中，将二维不可压缩欧拉方程以涡量和边界环量作为动力变量进行表述。
• 在不需对初始涡量符号作条件限制的前提下，建立弱速度形式与弱涡量形式之间的等价性。
• 分析通过光滑化初始数据获得的弱解中，边界分量周围环量的行为，初始数据具有非负奇异涡量。
• 定义流体作用在边界分量上的机械力，并将其与环量守恒联系起来。
• 将结果推广至具有多个孔洞的有界区域，并相应调整证明方法。

提出的方法

• 将德洛尔定理中的补偿紧致性论证适配至外部区域，利用光滑化初始数据构造弱解。
• 将弱涡量形式定义为欧拉方程的一种重表述形式，其中速度由涡量和边界环量重构得到。
• 在多连通区域中利用调和向量场和格林函数，分析速度与涡量核的正则性及衰减性。
• 通过截断函数和辅助调和函数，在有界区域与外部区域中建立格林函数梯度的逐点界。
• 证明通过光滑化具有非负奇异涡量的初始数据所获得的解，其在每个边界分量周围的环量满足下界，从而防止边界生成环量。
• 引入“边界耦合弱解”的概念，作为弱涡量形式的更强版本，其特征为每个边界分量处环量守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有边界的区域中，将二维不可压缩欧拉方程以涡量和边界环量作为动力变量进行重表述？
• RQ2 弱涡量形式是否在无需对初始涡量符号作假设的前提下，与弱速度形式等价？
• RQ3 非负奇异涡量能否被边界吸收？边界分量周围的环量是否守恒或存在下界？
• RQ4 流体作用在物质边界分量上的机械力是什么？它与环量守恒有何关系？
• RQ5 结果如何推广至具有多个孔洞的有界区域？证明中需要进行哪些修改？

主要发现

• 弱涡量形式在无需对初始涡量符号作任何假设的前提下，与弱速度形式等价，将德洛尔结果推广至具有边界的区域。
• 对于通过光滑化具有非负奇异涡量的初始数据所获得的弱解，每个边界分量周围的环量均有下界，即涡量可被边界吸收但不会由边界生成。
• 若弱解在所有边界分量处均守恒环量，则其为“边界耦合弱解”，属于具有更好正则性与物理一致性的更强解类。
• 当初始涡量属于 $L^1$ 时（即奇异部分消失），证明了在边界分量处守恒环量的弱解存在。
• 流体作用在边界分量上的机械力是良好定义的，且与环量的时间导数相关，守恒意味着力的平衡。
• 通过归纳法将结果推广至具有 $N$ 个孔洞的有界区域，利用截断技术与边界正则性，建立了格林函数及其梯度的统一估计。