[论文解读] Weakly distance-regular digraphs of valency three, I

Yuefeng Yang, Benjian Lv+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文对围长大于二且具有两种弧类型的三度弱距离正则有向图进行了分类，证明其同构于特定的 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_g$ 上的Cayley有向图，或通过群扩张构造的族。该分类完成了Suzuki与Wang发起的项目，给出了在给定约束下此类有向图的完整列表。

ABSTRACT

Suzuki (2004) [7] classified thin weakly distance-regular digraphs and pro- posed the project to classify weakly distance-regular digraphs of valency 3. The case of girth 2 was classified by the third author (2004) [9] under the assumption of the commutativity. In this paper, we continue this project and classify these digraphs with girth more than 2 and two types of arcs.

研究动机与目标

• 完成Suzuki（2004年）提出的三度弱距离正则有向图的分类，扩展此前对薄型与交换型情况的研究。
• 刻画围长大于二且恰好具有两种弧类型的三度弱距离正则有向图。
• 使用结构与群论方法，确定所有此类有向图的同构类。
• 将弱距离正则有向图的分类拓展至围长大于2的情形，此前围长为2的情形已在交换性条件下得到解决。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_g$ 上的Cayley有向图与广义群扩张构造两类弱距离正则有向图。
• 利用交集数 $p_{\widetilde{i},\widetilde{j}}^{\widetilde{h}}$ 定义弱距离正则性，并分析顶点对之间的路径计数。
• 利用环路与弧类型结构推导距离与自同构行为的约束。
• 应用群作用与商有向图 $\Gamma/H$ 分析整体结构，特别是当 $F(x) = V\Gamma$ 时。
• 利用路径存在性与距离传播的引理，排除不一致的配置。
• 使用同构不变量与自同构群的传递性，将所得有向图分类为标准形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同构意义下，哪些三度围长大于二且具有两种弧类型的弱距离正则有向图存在？
• RQ2 所有此类有向图是否均可构造为 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_g$ 上的Cayley有向图，或通过群扩张构造？
• RQ3 混合弧类型的环路存在时会产生何种结构约束，其如何影响距离函数？
• RQ4 条件 $F(x) = V\Gamma$ 如何影响自同构结构并影响最终分类？
• RQ5 商有向图 $\Gamma/H$ 在刻画这些有向图的整体结构中起到何种作用？

主要发现

• 所有围长大于二且具有两种弧类型的三度弱距离正则有向图，同构于Cayley有向图 $\mathrm{Cay}(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_g, \{(0,1),(2,1),(1,0)\})$，其中 $g=3$ 或 $g \geq 5$。
• 当 $F(x) = V\Gamma$ 时，有向图同构于以下三族之一：$\Gamma_{q,2mq,1}$、$\Gamma_{q,mq+2,q}$ 或 $\Gamma_{q,2mq-2q+2t,q+1-t}$，其中 $q \geq 3$，$m \geq 1$，且 $2 \leq t \leq q-1$。
• 当 $F(x) = V\Gamma$ 时，交集数 $p_{(1,g-1),(1,g-1)}^{(1,q-1)} = 2$ 成立，表明在某些顶点对之间存在两条不同类型的路径。
• 当 $F(x) = V\Gamma$ 时，商有向图 $\Gamma/H$ 是一个长度 $s \geq 3$ 的无向环路，且必须满足 $s + k - 1 > q$ 以保证一致性，其中 $k$ 由弧类型传播导出。
• 在给定约束下，该分类是完备的：除上述两类构造外，不存在其他此类有向图。
• 证明依赖于基于路径长度与距离传播的反证法，特别是当假设存在违反围长或弧类型约束的路径时。