[论文解读] Weakly holomorphic modular forms in prime power levels of genus zero

Paul A. Jenkins, DJ Thornton|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文为权为0的弱全纯模形式在素数幂水平 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ 构造了典范基，证明了这些基元素的傅里叶系数模水平素数的高次幂满足同余式。该工作将Griffin在水平1时的结果推广至水平2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 和25，并建立了这些形式的Zagier对偶性与生成函数性质。

ABSTRACT

Let $M_k^\sharp(N)$ be the space of weight $k$, level $N$ weakly holomorphic modular forms with poles only at the cusp at $\infty$. We explicitly construct a canonical basis for $M_k^\sharp(N)$ for $N\in\{8,9,16,25\}$, and show that many of the Fourier coefficients of the basis elements in $M_0^\sharp(N)$ are divisible by high powers of the prime dividing the level $N$. Additionally, we show that these basis elements satisfy a Zagier duality property, and extend Griffin's results on congruences in level 1 to levels 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, and 25.

研究动机与目标

• 显式构造水平为素数幂 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ 的权0弱全纯模形式空间 $ M_0^{ atural}(N) $ 的典范基，其中 $ \Gamma_0(N) $ 的亏格为零。
• 证明这些基元素的傅里叶系数 $ a_0^{(N)}(m,n) $ 可被整除于水平素数的高次幂，将Lehner与Griffin型同余推广至新水平。
• 为这些形式的傅里叶系数建立Zagier对偶性，推广已知的低水平对偶结果。
• 将Griffin对水平1模形式的同余结果推广至水平2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 和25，涵盖 $ \alpha > \beta $ 与 $ \alpha < \beta $ 两种情形。

提出的方法

• 将典范基元素 $ f_{0,m}^{(N)}(z) $ 构造为 $ M_0^{ atural}(N) $ 中唯一满足傅里叶展开 $ q^{-m} + \sum_{n > n_0} a_0^{(N)}(m,n)q^n $ 的形式，使 $ q^{-m} $ 项之后的零点间隙最大化。
• 利用 $ V_p $ 与 $ U_p $ 算子将水平 $ N $ 的形式与水平 $ p $ 的形式关联，特别地，证明 $ V_2(f_{0,m}^{(4)}) = f_{0,2m}^{(8)} $ 及类似恒等式对 $ N=9,16,25 $ 成立。
• 使用模函数 $ \psi^{(p)}(z) = \left( \frac{\eta(z)}{\eta(pz)} \right)^{24/(p-1)} $ 及其逆 $ \phi^{(p)}(z) $，将 $ j $-函数表示为 $ \psi^{(p)} $ 与 $ \phi^{(p)} $ 的函数，从而实现不同水平间同余关系的比较。
• 通过将 $ f_{0,m}^{(1)}(z) $ 表示为 $ j(z) $ 的多项式，再利用 $ \psi^{(p)}(z) $ 与 $ \phi^{(p)}(z) $ 的展开式将其与 $ f_{0,m}^{(p)}(z) $ 关联，证明其差值可被 $ p $ 的高次幂整除。
• 对水平 $ p $ 的已知同余式应用 $ V_p $ 算子，将其推广至更高水平 $ p^k $，利用 $ V_p $ 保持模形式性并尊重傅里叶系数结构的性质。
• 利用恒等式 $ f_{0,m}^{(1)}(z) \equiv f_{0,m}^{(p)}(z) \pmod{p^c} $（其中 $ c $ 为特定值），该式由 $ j(z) $ 关于 $ \psi^{(p)} $ 与 $ \phi^{(p)} $ 的展开式导出，实现从水平1到水平 $ p $ 的同余转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $，$ M_0^{ atural}(N) $ 中典范基元素的傅里叶系数是否满足模水平素数高次幂的同余式，类似于水平1及更低水平的情形？
• RQ2 在这些素数幂水平下，$ M_0^{ atural}(N) $ 的典范基傅里叶系数之间是否存在Zagier对偶性？
• RQ3 Griffin对水平1模形式的同余结果能否推广至水平8, 9, 16, 和25？若可，其精确模数为何？
• RQ4 $ V_p $ 与 $ U_p $ 算子在水平 $ N = p^k $ 的典范基元素上如何作用？它们能否用于关联不同水平的形式？
• RQ5 在这些水平下，$ j $-函数与模函数 $ \psi^{(p)}(z) $ 及 $ \phi^{(p)}(z) $ 之间的确切关系为何？该关系如何促成系数同余？

主要发现

• 对于 $ N = 8 $，傅里叶系数 $ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') $ 满足：当 $ \beta > \alpha $ 时，$ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $；当 $ \alpha > \beta $ 时，$ \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $。
• 对于 $ N = 9 $，$ a_0^{(9)}(3^\alpha m', 3^\beta n') \equiv 0 \pmod{3^{3(\alpha - \beta) + 3}} $ 当 $ \alpha > \beta $，且 $ \equiv 0 \pmod{3^{2(\beta - \alpha) + 3}} $ 当 $ \beta > \alpha $。
• 对于 $ N = 16 $，$ a_0^{(16)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $ 当 $ \alpha > \beta $，且 $ \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $ 当 $ \beta > \alpha $。
• 对于 $ N = 25 $，$ a_0^{(25)}(5^\alpha m', 5^\beta n') \equiv 0 \pmod{5^{2(\alpha - \beta) + 1}} $ 当 $ \alpha > \beta $，且 $ \equiv 0 \pmod{5^{(\beta - \alpha) + 1}} $ 当 $ \beta > \alpha $。
• 典范基元素满足Zagier对偶性：$ f_{0,m}^{(N)} $ 中 $ q^n $ 的系数与 $ f_{0,n}^{(N)} $ 中的系数满足由对偶条件关联的符号与阶数关系。
• 形式 $ f_{0,m}^{(1)}(z) $、$ f_{0,m}^{(2)}(z) $、$ f_{0,m}^{(3)}(z) $、$ f_{0,m}^{(5)}(z) $ 与 $ f_{0,m}^{(7)}(z) $ 分别模 $ 2^{16} $、$ 3^9 $、$ 5^5 $ 与 $ 7^4 $ 同余，从而实现同余结果在不同水平间的传递。