[论文解读] Weakly reversible mass-action systems with infinitely many positive steady states

Balázs Boros, Gheorghe Crăciun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文证明了弱可逆甚至可逆的质量作用系统可以拥有连续统的正常稳态，挑战了长期以来认为此类系统在每个不变多面体中仅有有限个正常稳态的信念。作者通过设计其多项式右端项共享公共因子的反应网络，构建了这些系统，从而导致稳态的代数曲线，且在2维及更高维中给出了明确的例子，显示在有界不变多面体中存在无穷多个正常稳态。

ABSTRACT

We show that weakly reversible mass-action systems can have a continuum of positive steady states, coming from the zeroes of a multivariate polynomial. Moreover, the same is true of systems whose underlying reaction network is reversible and has a single connected component. In our construction, we relate operations on the reaction network to the multivariate polynomial occurring as a common factor in the system of differential equations.

研究动机与目标

• 挑战广泛持有的信念，即弱可逆质量作用系统在每个不变多面体中仅有有限个正常稳态。
• 构建弱可逆及可逆质量作用系统中具有连续统正常稳态的明确例子。
• 识别此类无限稳态集出现的结构与代数条件，特别是公共多项式因子的存在。
• 研究实现此类行为所需的最小网络属性（例如顶点数、反应数、缺陷数）。
• 探讨在高维情况下，公共因子的存在是否为无限正常稳态的必要条件。

提出的方法

• 使用三个核心操作——平移、标量乘法和加法——对反应网络进行系统性构建，从简单系统逐步构造复杂系统。
• 通过向量平移网络相当于将系统右端乘以一个单项式，从而保持微分方程的结构。
• 速率常数的标量乘法使整个系统按常数缩放，保持稳态方程的形式不变。
• 将网络相加对应于合并其微分方程，从而实现共享多项式因子的系统构建。
• 设计网络，使得向量场方程共享一个公共的多元多项式因子，其正实根构成连续统的稳态。
• 证明所得到系统的动力学由该公共因子主导，从而在有界不变多面体中形成正稳态曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱可逆质量作用系统是否可能在单个不变多面体中拥有无穷多个正常稳态？
• RQ2 在高维系统中，微分方程右端是否存在公共多项式因子，是此类无限稳态集的必要条件吗？
• RQ3 弱可逆系统要表现出无穷多个正常稳态，其最小顶点数、反应数或缺陷数是多少？
• RQ4 弱可逆网络是否可能在参数空间中具有正测度的速率常数集合，使得其拥有无穷多个正常稳态？
• RQ5 是否存在结构性或拓扑性约束（例如稀疏性、低缺陷数）可保证弱可逆系统中正常稳态的有限性？

主要发现

• 本文构建了一个可逆质量作用系统，其拥有无穷多个正常稳态，如图1所示，其中稳态对应于系统微分方程中公共因子（1 − xy + y − x）的正实根。
• 例4.2中的系统具有四次公共因子，其正常稳态在第一象限形成一条曲线，如图8所示。
• 例4.3包含一个四次多项式因子（x² + xy² + y − 4xy），导致连续统的正常稳态，该系统有9个顶点、12个反应，缺陷数为4。
• 作者表明，即使在低缺陷数系统中，此类无限稳态集也有可能存在，如例4.3中缺陷数为4，且该构造可推广至高维。
• 在三维或更高维中，公共因子的存在并非无限正常稳态的必要条件，暗示可能存在其他代数机制。
• 本文证明了持久性猜想并不蕴含稳态的有限性，因为该无限集合位于有界不变多面体中，但属于退化情形。