[论文解读] Weakly Smooth Structures in Gromov-Witten Theory

Gang Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文通过在 $L_k^p$-稳定映射空间上引入一种弱光滑结构，即使过渡映射仅为连续时，也建立了格罗莫夫-塞伯理论中 $J$-全纯球面的扰动模空间的 $C^{m_0}$-光滑性，其中 $m_0 = k - 2/p$。在平凡同伦群和正规性假设下，证明了 $\bar{\partial}_J$-截面的泛用 $C^{m_0}$-光滑扰动可产生紧致的 $C^{m_0}$-光滑模空间。

ABSTRACT

In order to establish Fredholm theory on stratified topological Banach manifolds in Gromov-Witten theory, we have introduced flat structures on such manifolds in [L4]. Such a structure is obtained from local flat coordinate charts. The transformations between these charts are only continuous in general. The purpose of this paper is two-fold : firstly to show that on the topological Banach manifolds and bundles appeared in Gromov-Witten and Floer type theories, there are enough smooth functions and sections viewed in any admissible charts and trivializations; secondly to demonstrate some finer aspects about the weakly smooth sections.

研究动机与目标

• 证明格罗莫夫-塞伯理论中的拓扑巴拿赫流形与向量丛在可接受图册中具有足够多的光滑函数与截面。
• 解决 $L_k^p$-稳定映射上非光滑重参数化群作用带来的分析困难。
• 建立扰动 $J$-全纯映射模空间的 $C^{m_0}$-光滑性，其中 $m_0 = k - 2/p$。
• 证明尽管过渡函数不光滑，$\bar{\partial}_J$-截面在局部图册中仍保持光滑。
• 通过处理具有平凡同伦群的单个层状结构的情形，为分层巴拿赫流形上的弗雷德霍姆理论奠定基础。

提出的方法

• 在 $L_k^p$-稳定映射空间上引入弱光滑结构，即使过渡映射仅为连续，也能保证光滑函数与截面的存在。
• 利用坐标变换将 $G$-作用引起的导数损失转化为对微分同胚 $g$ 的光滑依赖，利用雅可比行列式元素的 $C^\infty$-光滑性。
• 当 $p$ 为偶数时，应用 $L_k^p$-范数的 $p$ 次幂作为光滑函数，从而构造光滑的单位分解函数。
• 在模型为 $L_k^p$-空间的仿紧巴拿赫流形上使用单位分解论证，确保局部光滑性与单位分解的存在。
• 当 $m_0 = k - 2/p > 1$ 时，利用索波罗夫代数性质，证明拉回映射 $\Psi_f(h) = f \circ h$ 的光滑性，其中 $f$ 为目标上的 $C^\infty$-向量场。
• 应用赫尔德不等式验证 $L_k^p$-范数幂的导数有界性，从而保证弗雷chet导数的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当环境空间的过渡映射仅为连续时，是否可在 $J$-全纯球面的模空间上建立 $C^{m_0}$-光滑结构？
• RQ2 尽管重参数化群作用不光滑，$\bar{\partial}_J$-截面在局部图册中是否仍保持光滑？
• RQ3 在正规性与平凡同伦群条件下，$\bar{\partial}_J$-截面的泛用 $C^{m_0}$-光滑扰动是否可产生 $C^{m_0}$-光滑模空间？
• RQ4 为确保扰动模空间的 $C^{m_0}$-光滑性，几何数据（如 $J$、$\omega$）的最小光滑度要求是什么？
• RQ5 如何在具有非光滑过渡函数的 $L_k^p$-空间模型的巴拿赫流形上构造光滑单位分解函数与单位分解？

主要发现

• 对泛用的 $C^{m_0}$-光滑扰动 $\nu$，$J$-全纯球面的模空间 $\mathcal{M}^\nu(J,A)$ 是 $C^{m_0}$-光滑的，其中 $m_0 = k - 2/p$。
• 当 $p$ 为偶数时，$L_k^p(\Sigma,V)$ 上 $L_k^p$-范数的 $p$ 次幂是光滑的，从而可构造光滑单位分解函数。
• 当 $p$ 为正偶数时，仿紧巴拿赫流形（模型为 $L_k^p$-空间）上存在光滑单位分解。
• 当 $m_0 = k - 2/p > 1$ 时，对 $C^\infty$-向量场 $f$，拉回映射 $\Psi_f(h) = f \circ h$ 是光滑的，从而保证 $L_k^p$-映射构成巴拿赫代数。
• $L_k^p$-范数 $p$ 次幂的导数有界且线性，通过赫尔德不等式确认其弗雷chet可微性。
• 当所有几何数据均为 $C^\infty$-光滑时，对某一不依赖于 $r$ 的共同扰动，扰动模空间为 $C^\infty$-光滑，即具有无限光滑性。