[论文解读] Weakly Submodular Functions

Allan Borodin, Dai Le+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文引入了弱次模函数，这是单调次模函数的推广，包含某些温和的超次模函数。研究表明，标准贪心算法在基数约束下可实现约5.95的常数近似比，而局部搜索算法在一般拟阵约束下可实现约10.22的常数近似比，从而将这些算法的适用范围扩展到传统次模函数之外。

ABSTRACT

Submodular functions are well-studied in combinatorial optimization, game theory and economics. The natural diminishing returns property makes them suitable for many applications. We study an extension of monotone submodular functions, which we call {\em weakly submodular functions}. Our extension includes some (mildly) supermodular functions. We show that several natural functions belong to this class and relate our class to some other recent submodular function extensions. We consider the optimization problem of maximizing a weakly submodular function subject to uniform and general matroid constraints. For a uniform matroid constraint, the "standard greedy algorithm" achieves a constant approximation ratio where the constant (experimentally) converges to 5.95 as the cardinality constraint increases. For a general matroid constraint, a simple local search algorithm achieves a constant approximation ratio where the constant (analytically) converges to 10.22 as the rank of the matroid increases.

研究动机与目标

• 将可高效近似的函数类扩展至标准次模函数之外。
• 识别并形式化一个更广泛的函数类——弱次模函数，以保持算法可解性。
• 为在基数约束和拟阵约束下最大化单调弱次模函数，建立常数因子近似保证。
• 证明自然函数如最大-和分散性（max-sum dispersion）这类超次模函数属于该类。
• 探讨弱次模性在优化问题中的理论与算法影响。

提出的方法

• 提出一种基于基数归一化不等式的弱次模性新定义：|$|T|f(S) + |S|f(T) \geq |S \cap T|f(S \cup T) + |S \cup T|f(S \cap T)$|。
• 将标准贪心算法应用于均匀拟阵（基数）约束，并证明其近似比随基数增加而收敛至约5.95。
• 对一般拟阵约束使用局部搜索算法，并证明其近似比随拟阵秩增加而收敛至约10.22。
• 通过连续松弛和对导出函数$g(x,r)$的微积分优化分析近似界。
• 通过函数$g(x,r)$的偏导数和边界分析，建立近似比的理论收敛性。
• 将弱次模性与现有扩展（如超次模度和$k$-重依赖）关联，表明其与某些先前类别的不可比较性。

实验结果

研究问题

• RQ1 贪心和局部搜索算法能否在标准次模函数之外的更广类函数上实现常数因子近似？
• RQ2 在基数约束和拟阵约束下，最大化单调弱次模函数的最优可能近似比是多少？
• RQ3 弱次模性与超次模度或$k$-重依赖等其他函数扩展有何关系？
• RQ4 是否存在自然的、非次模函数（如最大-和分散性）属于弱次模类？
• RQ5 贪心和局部搜索的近似界能否进一步收紧或推广至其他约束（如背包约束）？

主要发现

• 贪心算法实现的近似比为$\alpha(p)$，实验表明当基数约束$p$增大时，其收敛至5.95。
• 局部搜索算法实现的近似比为$\rho(s)$，理论分析表明当拟阵秩$s$增大时，其收敛至10.22。
• 用于界定近似比的函数$g(x,r)$在$x=2.25, r=1$处达到最大值14.5，但最紧界为$x=e, r=1$处的10.22。
• 弱次模函数类包含所有单调次模函数以及部分超次模函数，如最大-和分散性度量。
• 弱次模函数与超次模度较小的函数及$k$-重依赖函数不可比较。
• 分析确认贪心算法的近似比从下方收敛，局部搜索算法从上方收敛，支持边界的紧致性。