[论文解读] Wealth distribution: To be or not to be a Gamma?

Mehdi Lallouache, Aymen Jedidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文挑战了广泛引用的假设，即具有全局储蓄倾向的动能交换模型中的财富分布遵循伽马分布。通过矩分析和积分方程技术，本文证明该分布不可能是伽马分布，并推导出低财富行为的上界，表明在零财富附近呈现非伽马、非幂律衰减。

ABSTRACT

We review some aspects, especially those we can tackle analytically, of a minimal model of closed economy analogous to the kinetic theory model of ideal gases where the agents exchange wealth amongst themselves such that the total wealth is conserved, and each individual agent saves a fraction (0 < lambda < 1) of wealth before transaction. We are interested in the special case where the fraction lambda is constant for all the agents (global saving propensity) in the closed system. We show by moment calculations that the resulting wealth distribution cannot be the Gamma distribution that was conjectured in Phys. Rev. E 70, 016104 (2004). We also derive a form for the distribution at low wealth, which is a new result.

研究动机与目标

• 严格检验一个猜想，即具有全局储蓄倾向的封闭经济体的稳态财富分布遵循伽马分布。
• 研究分析矩计算是否支持先前工作中提出的伽马分布假设。
• 推导低财富值下财富分布的解析上界，此处伽马分布预计会有所不同。
• 澄清零财富附近的分布函数形式，挑战伽马拟合在低财富区间内的稳健性。

提出的方法

• 对稳态财富分布执行矩计算，以检验其与伽马分布的一致性。
• 基于具有恒定储蓄倾向 λ 的交易规则，推导分布函数 f(x) 的类似 Fokker-Planck 的积分方程。
• 通过在随机分数 ε 上积分，简化积分方程，将其简化为涉及 f(x) 和 1/(x_i + x_j) 的卷积形式。
• 利用 δ 函数和 Heaviside 阶跃函数施加约束，以定义 x_i 和 x_j 的积分区域。
• 对所得不等式应用迭代上界技术，推导出当 x → 0 时 f(x) 的上界。
• 采用渐近分析和变量重标度方法，表明当 x 接近零时，f(x) 以 O(x^α exp[−β(log x)^2]) 的形式衰减，其中 β > 0，与伽马分布的衰减形式相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局储蓄倾向模型中，稳态财富分布是否精确地服从伽马分布？
• RQ2 低财富值下的财富分布的解析形式是什么？它与伽马分布有何不同？
• RQ3 基于矩的分析能否排除伽马分布作为该模型的精确解？
• RQ4 当 x 趋近于零时，f(x) 的有效上界函数形式是什么？
• RQ5 零财富附近的衰减行为与伽马分布的幂律或指数衰减相比有何不同？

主要发现

• 矩计算表明，该分布的三阶和四阶矩与伽马分布不一致，因此该猜想被证伪。
• 由于伽马分布的衰减速率慢于推导出的上界，财富分布不可能是伽马分布。
• 推导出当 x → 0 时 f(x) 的解析上界为 f(x) = O(x^α exp[−β(log x)^2])，其中 β > 0，表明其衰减速度快于任何幂律。
• 在低财富处推导出的函数形式与伽马分布不相容，后者以 x^{n-1}exp(−nx/⟨x⟩) 的形式衰减，表现出更慢的衰减速度。
• 结果证实，尽管在中等财富值下数值拟合可能显示相似性，但该分布并非伽马分布。
• 尽管已推导出有效的上界，该积分方程的闭式解仍是开放问题。