[论文解读] Webs, Lenard schemes, and the local geometry of bihamiltonian Toda and Lax structures

Israel M. Gelfand, Ilya Zakharevich|ArXiv.org|Mar 13, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用 30

一句话总结

本文提出了一种几何准则，用于识别具有常系数泊松括号的局部双哈密顿结构，将其应用于 Toda 晶格，表明开 Toda 晶格在局部上同构于一个奇维的克罗内克型结构，而周期性 Toda 晶格则分解为两个开 Toda 晶格的直积。该方法结合了网络几何与 Lenard 构造，统一了可积系统局部分类的理论。

ABSTRACT

We introduce a criterion that a given bihamiltonian structure allows a local coordinate system where both brackets have constant coefficients. This criterion is applied to the bihamiltonian open Toda lattice in a generic point, which is shown to be locally isomorphic to a Kronecker odd-dimensional pair of brackets with constant coefficients. This shows that the open Toda lattice cannot be locally represented as a product of two bihamiltonian structures. In a generic point the bihamiltonian periodic Toda lattice is shown to be isomorphic to a product of two open Toda lattices (one of which is a (trivial) structure of dimension 1). While the above results might be obtained by more traditional methods, we use an approach based on general results on geometry of webs. This demonstrates a possibility to apply a geometric language to problems on bihamiltonian integrable systems, such a possibility may be no less important than the particular results proven in this paper. Based on these geometric approaches, we conjecture that decompositions similar to the decomposition of the periodic Toda lattice exist in local geometry of the Volterra system, the complete Toda lattice, the multidimensional Euler top, and a regular bihamiltonian Lie coalgebra. We also state general conjectures about geometry of more general ``homogeneous'' finite-dimensional bihamiltonian structures. The class of homogeneous structures is shown to coincide with the class of system integrable by Lenard scheme. The bihamiltonian structures which allow a non-degenerate Lax structure are shown to be locally isomorphic to the open Toda lattice.

研究动机与目标

• 开发一种几何准则，以判断双哈密顿结构是否在局部坐标系中具有常系数泊松括号。
• 将该准则应用于开 Toda 晶格与周期性 Toda 晶格，利用网络理论与 Lenard 构造对它们的局部几何进行分类。
• 证明开 Toda 晶格在局部上不能分解为更简单双哈密顿结构的直积，而周期性 Toda 晶格可以。
• 推测在其他经典可积系统（如 Volterra 系统与多维 Euler 拓扑）中也存在类似的分解结构。
• 通过与 Lenard 构造相关的“齐次”结构概念，统一理解有限维双哈密顿结构。

提出的方法

• 利用几何网络理论分析两个相容泊松括号的线性组合中 Casimir 函数之间的相对位置。
• 应用一个基于某点处 Casimir 函数微分张成空间维数的判据，以检测克罗内克型双哈密顿结构。
• 运用 Lenard 构造生成对称函数族，这些函数族在双哈密顿系统中对可积性至关重要。
• 引入“锚定”与“Lenard-可积”结构的概念，以对那些能从初始数据出发生成递推关系的系统进行分类。
• 利用局部微分同胚不变性，将双哈密顿结构的分类问题简化为在典型邻域内的行为分析。
• 利用平坦的奇维双哈密顿结构在局部上同构于常系数克罗内克结构的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，双哈密顿结构在局部上同构于具有常系数的克罗内克结构？
• RQ2 为何开 Toda 晶格在局部上无法分解为双哈密顿结构的直积？
• RQ3 周期性 Toda 晶格能否在局部上表示为两个开 Toda 晶格的直积？这对其可积性有何含义？
• RQ4 Lenard 构造在刻画齐次双哈密顿结构中起什么作用？
• RQ5 经典可积系统（如 Volterra 系统或 Euler 拓扑）是否也存在类似于周期性 Toda 晶格的局部分解？

主要发现

• 开 Toda 晶格在局部上同构于一个具有常系数的奇维克罗内克型双哈密顿结构，因此无法分解为更简单双哈密顿系统的直积。
• 周期性 Toda 晶格在局部上同构于两个开 Toda 晶格的直积，其中一个是平凡的一维结构。
• 建立了一个判据：若在某点处 Casimir 函数微分张成空间的维数至少为 (dim M + r)/2，且联合泊松括号的余维数为 r，则该结构在该点附近为类型 (2d₁+1, ..., 2dᵣ+1) 的克罗内克型结构。
• 若余维数恒定，该维数条件可弱化为 (dim M + r − 1)/2，从而允许开集包含基点。
• 所有同类型的克罗内克结构在局部上彼此同构，该判据以 Casimir 函数几何为依据提供了其刻画。
• 本文推测，许多经典可积系统（包括 Volterra 系统与多维 Euler 拓扑）可能也存在类似的局部分解，暗示可积系统中存在更深层的几何选择原理。