[论文解读] Weight-adjusted discontinuous Galerkin methods: curvilinear meshes

Jesse Chan, Russell J. Hewett+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种适用于曲面网格的加权调整间断伽辽金（WADG）方法，通过使用加权积分法近似逆质量矩阵，显著降低了存储成本，同时保持了高阶精度和能量稳定性。该方法在曲面区域实现了最优收敛率，并在GPU上表现出高效性能，且在网格变形下表现出良好的鲁棒性。

ABSTRACT

Traditional time-domain discontinuous Galerkin (DG) methods result in large storage costs at high orders of approximation due to the storage of dense elemental matrices. In this work, we propose a weight-adjusted DG (WADG) methods for curvilinear meshes which reduce storage costs while retaining energy stability. A priori error estimates show that high order accuracy is preserved under sufficient conditions on the mesh, which are illustrated through convergence tests with different sequences of meshes. Numerical and computational experiments verify the accuracy and performance of WADG for a model problem on curved domains.

研究动机与目标

• 降低传统间断伽辽金（DG）方法在曲面网格上因密集单元质量矩阵带来的高存储成本。
• 在曲面区域的时间域波模拟中保持能量稳定性和高阶精度。
• 开发一种现有曲面DG方法的低存储替代方案，避免昂贵的矩阵分解或实时求解。
• 通过最小化内存带宽和存储需求，实现GPU上的高效实现。
• 在不增加计算成本的前提下，将该方法扩展至具有空间变化波速的非均质介质。

提出的方法

• WADG方法通过使用加权调整质量矩阵来近似几何加权质量矩阵的逆，将存储成本降低至对角矩阵水平。
• 采用基于加权积分点的伪投影方法来近似$L^2$投影，其误差界取决于雅可比行列式的变化。
• 采用强-弱形式来解耦体积积分与面积分，从而支持高效的GPU内核启动。
• 通过在积分点处的节点值计算数值通量，且在更新内核中通过修改对角加权方式引入空间变化的波速$c^2$。
• 通过将雅可比行列式和波速变化嵌入质量矩阵近似中，保持了与DG变分形式的一致性。
• 采用分核策略处理面积分，以提升GPU带宽利用率，尤其在高阶单元中效果显著。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种低存储DG方法，可在具有空间变化几何因子的曲面网格上保持高阶精度和能量稳定性？
• RQ2 WADG对逆质量矩阵的近似如何影响离散解的条件数和收敛性？
• RQ3 与标准DG和LSC-DG相比，网格曲率对WADG的稳定性和精度有何影响？
• RQ4 WADG方法能否在曲面单元上高效处理具有空间变化波速的非均质介质？
• RQ5 WADG在不同多项式阶次下，其计算性能在GPU架构上的扩展特性如何？

主要发现

• WADG方法在曲面区域的波传播问题中实现了最优的$h$-和$p$-收敛率，误差界明确依赖于雅可比行列式的变化。
• 数值实验表明，即使在显著的网格曲率下，WADG仍能保持稳定性和高阶精度，且在网格变形下的鲁棒性优于标准DG和LSC-DG。
• 在Nvidia GTX 980 GPU上，WADG格式在$N=5$时达到高达1500 GFLOPS/s和200 GB/s带宽，分面核策略显著提升了内存带宽利用率。
• 通过在更新内核中修改对角加权，该方法可支持具有空间变化波速的非均质介质，且计算成本无增加。
• WADG伪投影误差在$L^2$范数下有界，且显式常数依赖于雅可比行列式的正则性和积分权函数。
• 该方法不适用于具有奇异映射的非仿射单元（如过渡金字塔单元），在$h$-和$p$-加密下收敛会停滞。