[论文解读] Weight Distribution of A p-ary Cyclic Code

Xiangyong Zeng, Lei Hu+3 more|ArXiv.org|Jan 16, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 13

一句话总结

该论文在 $ p $ 和 $ n/\gcd(n,k) $ 均为奇数的条件下，确定了由三次型的迹函数 $ \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ 构造的 $ p $-元循环码 $ p^n - 1 $ 长度下的完整重量分布。通过指数和与 $ \mathbb{F}_{p^n} $ 上相关二次型的秩，作者推导出所有可能重量的确切频率，为奇数和偶数 $ \gcd(n,k) $ 情况下提供了该码重量生成函数的完整刻画。关键结果是用 $ p $、$ n $ 和 $ d = \gcd(n,k) $ 表示的重量分布的闭式表达式。

ABSTRACT

For an odd prime $p$ and two positive integers $n\geq 3$ and $k$ with $\frac{n}{{ m gcd}(n,k)}$ being odd, the paper determines the weight distribution of a $p$-ary cyclic code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_{p}$ with nonzeros $α^{-1}$, $α^{-(p^k+1)}$ and $α^{-(p^{3k}+1)}$, where $α$ is a primitive element of $\mathbb{F}_{p^n}$

研究动机与目标

• 确定长度为 $ p^n - 1 $ 的 $ p $-元循环码的完整重量分布，其非零元为 $ \alpha^{-1} $、$ \alpha^{-(p^k+1)} $、$ \alpha^{-(p^{3k}+1)} $，其中 $ \alpha $ 是 $ \mathbb{F}_{p^n} $ 的本原元。
• 在 $ p $ 为奇素数且 $ n/\gcd(n,k) $ 为奇数的条件下分析重量分布。
• 评估指数和，并确定与码的迹函数相关的一类二次型的秩分布。
• 提供码中所有可能重量及其频率的完整显式枚举，从而实现对其纠错特性的全面刻画。

提出的方法

• 该码定义为 $ \mathbb{F}_{p^n}^* $ 上迹函数 $ \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ 的像，码字由 $ \epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{p^n} $ 索引。
• 通过计算指数和 $ S(\epsilon, \gamma, \delta) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*} e^{2\pi i \cdot \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1})/p} $ 的零点数量来确定每个码字的重量。
• 通过线性化多项式 $ L_{\gamma,\delta}(z) = \gamma z^{p^k} + \gamma^{p^{-k}} z^{p^{-k}} + \delta z^{p^{3k}} + \delta^{p^{-3k}} z^{p^{-3k}} = 0 $ 的解的数量，分析二次型 $ \mathrm{Tr}_n^d(\gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ 的秩。
• 利用二次型和迹函数的性质评估指数和，关键结果来自有限域上高斯和与特征和的理论。
• 通过将 $ (\gamma, \delta) $ 划分为三类集合 $ R_0 $、$ R_1 $、$ R_2 $（基于关联二次型的秩），并进行分类分析，推导出重量分布。
• 最终，对于奇数和偶数 $ d = \gcd(n,k) $，以闭式表达重量分布，所有重量的码字数量均以 $ p $、$ n $ 和 $ d $ 的形式给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{F}_{p^n} $ 上，由 $ \epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1} $ 的迹函数生成的 $ p $-元循环码的完整重量分布是什么？
• RQ2 二次型 $ \mathrm{Tr}_n^d(\gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ 的秩如何影响码的重量分布？
• RQ3 每种可能重量的码字的确切频率是多少？它们如何依赖于 $ p $、$ n $ 和 $ d = \gcd(n,k) $？
• RQ4 指数和 $ S(\epsilon, \gamma, \delta) $ 如何与迹函数的零点数量相关联？如何利用特征和与迹恒等式对其进行评估？
• RQ5 条件 $ p $ 和 $ n/\gcd(n,k) $ 均为奇数在实现重量分布的完全分类中起到什么作用？

主要发现

• 对于所有 $ \epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{p^n} $，该码的重量分布被完全确定，每种重量的计数均以 $ p $、$ n $ 和 $ d = \gcd(n,k) $ 显式表达。
• 当 $ d $ 为奇数时，码恰好有一个重量为 0 的码字；重量为 $ (p-1)p^{n-1} $ 的码字数量为 $ (p^n - 1)\left(p^{2n-1} + (p-1)p^{2n-d-1} - p^{2n-2d} + (p-1)p^{2n-3d-1} + p^{n-1} - (p-1)p^{n-2d-1} + 1\right) $。
• 重量为 $ (p-1)p^{n-1} \pm p^{(n-1)/2} $ 的码字数量为 $ \frac{(p-1)(p^n - 1)(p^{n+2d} - p^{n+d} - p^n + p^{2d})(p^n - 1)}{2(p^{2d} - 1)} $，对正负两种符号均成立。
• 当 $ d $ 为偶数时，重量分布类似，但 $ p $ 的指数中 $ n-1 $ 被 $ n-2 $ 替代，分母中 $ d $ 被 $ 2d $ 替代，反映出秩结构的偏移。
• 重量为 $ (p-1)p^{n-1} \pm p^{(n+d-2)/2} $ 的码字以涉及 $ p^{n-d-1} \pm (p-1)p^{n-d-2}/2 $ 的频率出现，具体取决于 $ (\gamma, \delta) $ 的秩类。
• 对于奇数和偶数 $ d = \gcd(n,k) $，该码的完整重量生成函数被显式推导出来，所有频率均以闭代数形式表达，证实了该码在重量分布意义上的最优性。