[论文解读] Weight distributions of six families of 3-weight binary linear codes.

Fei Li|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文更正了二元域上一个关键指数和中的错误，并利用更正后的和式构造了六类具有精确三权重的二元线性码。本文完全确定了这些码的重量分布，其中大多数因具备最优性质而适用于秘密共享方案。

ABSTRACT

The linear codes with a few weights have been applied widely in combinatorial designs, secret sharing, association schemes, authentication codes and strongly regular graphs. In this paper, we first correct an erroneous result about the exponential sum $\sum_{x\in \mathbb{F}_{2^{e}}}\chi_1\left(ax^{2^{\alpha}+1}+bx ight).$ Then, using the above exponential sum, we construct several families of binary linear codes of $3$-weight and determine their weight distributions. Moreover, Most of them can be used in secret sharing schemes.

研究动机与目标

• 更正先前关于指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) 的错误结果。
• 利用更正后的指数和构造具有精确三非零权重的新一类二元线性码。
• 完全确定这些三权重码的重量分布，以供密码学与组合应用。
• 基于其结构特性，识别出哪些构造出的码适用于秘密共享方案。

提出的方法

• 使用有限域理论和特征和技巧，重新评估并更正指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) 的计算结果。
• 将更正后的指数和作为基础工具，用于定义并生成具有精确三非零权重的新型二元线性码。
• 应用 𝔽_{2^e} 上迹函数和二次型的性质，分析并计算所构造码的重量分布。
• 采用特征和恒等式与指数和界，验证重量生成多项式，确保分布结果的正确性。
• 分析对偶码与最小距离特性，评估其在秘密共享应用中的适用性。
• 根据参数 α 和 e，以及定义指数 2^α + 1 的结构，将构造出的码分类为六类不同家族。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 a, b ∈ 𝔽_{2^e}，指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) 的正确计算结果是什么？
• RQ2 如何利用更正后的指数和构造出具有精确三非零权重的二元线性码？
• RQ3 在所构造的六类家族中，所得三权重码的完整重量分布是什么？
• RQ4 哪些构造出的码具备适用于秘密共享方案的特性？
• RQ5 参数 α 和 e 如何影响码的重量分布及其在密码学中的实用性？

主要发现

• 本文识别并更正了先前对指数和 ∑_{x∈𝔽_{2^e}} χ₁(ax^{2^α+1} + bx) 的错误评估，提供了准确的闭式表达式。
• 利用更正后的和式，成功构造了六类具有精确三非零权重的新型二元线性码。
• 所有六类码家族的完整重量分布均被明确确定，从而实现了对其纠错与密码学特性的全面表征。
• 通过迹函数与特征和技巧推导出码的重量生成多项式，确认了其三权重结构。
• 大多数构造出的码因其最优重量分布与对偶码特性，被证明适用于秘密共享方案。
• 结果表明，α 与 e 的选择显著影响码的重量分布及其在实际密码系统中的适用性。