[论文解读] Weight Reduction for Quantum Codes

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对CSS稳定子码的权重缩减算法，可将高权重稳定子生成元转化为常数权重（O(1)）形式，同时保持逻辑量子比特数量不变。该方法采用迭代的量子比特分裂与稳定子分解技术，实现强低密度奇偶校验（LDPC）码的构造，物理量子比特数量增加可控，距离退化程度适中，适用于高维流形码与均衡距离增强应用。

ABSTRACT

We present an algorithm that takes a CSS stabilizer code as input, and outputs another CSS stabilizer code such that the stabilizer generators all have weights $O(1)$ and such that $O(1)$ generators act on any given qubit. The number of logical qubits is unchanged by the procedure, while we give bounds on the increase in number of physical qubits and in the effect on distance and other code parameters, such as soundness (as a locally testable code) and "cosoundness" (defined later). Applications are discussed, including to codes from high-dimensional manifolds which have logarithmic weight stabilizers. Assuming a conjecture in geometry\cite{hdm}, this allows the construction of CSS stabilizer codes with generator weight $O(1)$ and almost linear distance. Another application of the construction is to increasing the distance to $X$ or $Z$ errors, whichever is smaller, so that the two distances are equal.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的高距离量子码与低权重稳定子生成元之间的挑战。
• 开发一种系统性方法，将任意CSS稳定子码转化为具有O(1)生成元权重与量子比特参与度的强LDPC码。
• 在定量控制物理量子比特数量增加与码距离退化的同时，保持逻辑量子比特数量不变。
• 支持在高维流形码与均衡距离码中的应用。

提出的方法

• 该算法应用迭代量子比特分裂：每个量子比特被替换为由X型稳定子连接的量子比特链，以降低其在X型生成元中的参与度。
• 对于作用于高阶度量子比特的每个X型生成元，该方法用一条量子比特与稳定子的线性链替代，使每个量子比特参与的X型生成元数最多为3。
• Z型稳定子通过将分裂量子比特上的每个Z算符替换为对应链上算符的乘积进行修改，其权重最多增加原X型度数的倍数。
• 引入一种替代分裂方法，使每个量子比特参与的X型生成元数减少至3，但Z型生成元权重增加至原X型度数的倍数。
• 该过程迭代应用于X型与Z型，确保所有稳定子生成元与量子比特参与度均被O(1)有界。
• 该方法基于代数拓扑与同调代数，利用链复形与边界映射分析权重与对易性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有高权重稳定子的CSS稳定子码转换为具有O(1)生成元权重与O(1)量子比特参与度的码，同时不丢失逻辑信息？
• RQ2 在降低稳定子权重时，物理量子比特数量与码距离之间的权衡关系如何？
• RQ3 该转换方法能否应用于高维流形构造的码，以实现接近线性距离与常数权重生成元？
• RQ4 该过程对码作为局部可测试码的鲁棒性与共鲁棒性参数有何影响？
• RQ5 能否利用此权重缩减框架平衡码的X与Z距离？

主要发现

• 该算法生成的新CSS码中，所有稳定子生成元权重为O(1)，每个量子比特参与的生成元数最多为O(1)，同时保持逻辑量子比特数量不变。
• 物理量子比特数量的增加最多为原码最大生成元权重与度数的多项式倍数，具体取决于缩减序列。
• 码距离可能下降，但退化程度受控且可量化，取决于原码参数（如d_X与d_Z）。
• 当应用于高维流形构造的码时（假设一个几何猜想成立），该方法可生成具有O(1)生成元权重与距离Θ(N^{1−ε})的码，其中ε > 0为任意正数。
• 该方法可通过将较小的X或Z距离缩减至与较大者匹配，实现X与Z距离的平衡，提升码对非对称错误的鲁棒性。
• 该过程与子系统权重缩减不同，因其保持稳定子码结构，不生成子系统码。