[论文解读] Weight structures and motives; comotives, coniveau and Chow-weight spectral sequences: a survey

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本综述将权重结构确立为三角范畴中 t-结构的对偶对偶物，使得能够在上同调理论之间构建权重复形、过滤及谱序列。它统一了经典的权重谱序列、诺维科夫谱序列与阿蒂yah-赫尔茨布鲁赫谱序列，并为函数域及光滑概形的射影极限构造了一个三角范畴的共动机范畴。

ABSTRACT

This is a survey of author's results on weight structures and Voevodsky's motives. Weight structures are natural counterparts of t-structures (for triangulated categories) introduced by the author. They allow to construct weight complexes, weight filtrations, and weight spectral sequences for various cohomology theories. Partial cases of the latter are: 'classical' weight spectral sequences (for singular and etale cohomology), coniveau spectral sequences, and Atiyah-Hirzebruch spectral sequences. All of those are mentioned in the current paper. The details, proofs, and several more results could be found in other papers of the author (cited here). We also mention a certain triangulated category of comotives that contains reasonable (co)motives for all function fields (and also of other projective limits of smooth varieties).

研究动机与目标

• 在三角范畴中发展权重结构作为 t-结构的对偶类比。
• 通过权重结构在统一框架下整合经典谱序列（如诺维科夫谱序列与阿蒂yah-赫尔茨布鲁赫谱序列）。
• 构建一个三角范畴的共动机范畴，以捕捉函数域及光滑概形射影极限的合理（共）动机。
• 为动机上同调及相关理论中的权重过滤与权重谱序列提供系统性基础。

提出的方法

• 在三角范畴中引入权重结构作为 t-结构的对偶，以实现过滤与谱序列的构造。
• 将权重结构应用于各种上同调理论，推导出权重复形与权重过滤。
• 将已知谱序列（如诺维科夫谱序列与阿蒂yah-赫尔茨布鲁赫谱序列）重构为权重谱序列的特例。
• 利用光滑概形的射影极限构造一个三角范畴的共动机范畴，确保与函数域上动机的相容性。
• 利用权重结构的形式化方法，将动机上同调与博雷尔-莫尔同调及其他上同调不变量联系起来。
• 利用权重结构的普遍性质，将谱序列构造推广至不同的上同调设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地利用权重结构在三角范畴中构建权重过滤与谱序列？
• RQ2 经典谱序列（如诺维科夫谱序列与阿蒂yah-赫尔茨布鲁赫谱序列）以何种方式作为权重谱序列的特例出现？
• RQ3 权重结构在为函数域及射影极限定义良好行为的共动机范畴中扮演何种角色？
• RQ4 在动机与上同调的语境下，权重结构如何对偶化 t-结构理论？
• RQ5 权重结构对代数几何中诺维科夫过滤与查沃-权重过滤具有何种影响？

主要发现

• 权重结构为在各种上同调理论中系统性地构建权重过滤与谱序列提供了框架。
• 经典谱序列（包括诺维科夫谱序列与阿蒂yah-赫尔茨布鲁赫谱序列）被证明是权重谱序列的特例。
• 构建了一个三角范畴的共动机范畴，其中包含了所有函数域及光滑概形射影极限的合理（共）动机。
• 权重结构的形式化方法使得动机与上同调过滤得以统一处理，增强了对诺维科夫过滤的理解。
• 权重复形与权重谱序列由权重结构导出，为计算上同调不变量提供了强大工具。
• t-结构与权重结构之间的对偶性得到形式化，使其在动机同伦理论与代数 K-理论中具有更广泛的应用。