[论文解读] Weighted and shifted BDF2 methods on variable grids

Minghua Chen, Yu Fan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种适用于抛物型PDE的可变时间步长加权平移BDF2（WSBDF2）方法，通过加权平移将BDF2与Crank-Nicolson格式结合。该方法证明了无条件稳定性与最优二阶收敛性，其最优相邻时间步长比显著优于以往的BDF2方法，填补了非均匀网格下PDE分析中的理论空白。

ABSTRACT

Variable steps implicit-explicit multistep methods for PDEs have been presented in [17], where the zero-stability is studied for ODEs; however, the stability analysis still remains an open question for PDEs. Based on the idea of linear multistep methods, we present a simple weighted and shifted BDF2 methods with variable steps for the parabolic problems, which serve as a bridge between BDF2 and Crank-Nicolson scheme. The contributions of this paper are as follows: we first prove that the optimal adjacent time-step ratios for the weighted and shifted BDF2, which greatly improve the maximum time-step ratios for BDF2 in [11,15]. Moreover, the unconditional stability and optimal convergence are rigorous proved, which make up for the vacancy of the theory for PDEs in [17]. Finally, numerical experiments are given to illustrate theoretical results.

研究动机与目标

• 解决PDE中可变步长BDF方法缺乏稳定性与收敛性理论的问题，特别是针对隐式-显式多步格式。
• 通过非均匀时间网格上的加权平移BDF2公式，构建统一框架，连接BDF2与Crank-Nicolson格式。
• 推导出最优相邻时间步长比，以最大化稳定性和效率，优于以往BDF2方法的界限。
• 严格证明WSBDF2方法在抛物问题上的无条件稳定性与最优二阶收敛性。
• 通过谱空间离散化与可变时间步长的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 构造加权平移BDF2算子 $ D_2v^n = \theta\tilde{D}_2v^n + (1-\theta)\bar{D}_2v^n $，其中 $ \tilde{D}_2 $ 为标准BDF2，$ \bar{D}_2 $ 为平移BDF2，且 $ \theta \in [1/2,1] $。
• 定义时间离散格式为 $ D_2u^n - \theta\Delta u^n - (1-\theta)\Delta u^{n-1} = \theta f^n + (1-\theta)f^{n-1} $，用于求解具有可变时间步长的抛物问题。
• 采用涉及 $ L^2 $ 内积与 $ H_0^1 $ 测试函数的弱形式，推导稳定性与收敛性估计。
• 应用能量估计与离散卷积恒等式控制误差，利用柯西-施瓦茨不等式与分部求和技巧。
• 采用离散Grönwall不等式控制误差随时间的传播，从而获得最优收敛阶。
• 采用切比雪夫–高斯–勒让德配点的谱配置法进行空间离散化，确保谱精度并使空间误差可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可变网格上，WSBDF2方法的最优相邻时间步长比 $ r_k = \tau_k / \tau_{k-1} $ 的范围是什么？该范围如何确保稳定性和最优收敛性？
• RQ2 WSBDF2方法是否能在可变时间步长下实现无条件稳定性与二阶收敛性，尽管先前研究缺乏此类理论？
• RQ3 在可变时间步长背景下，WSBDF2方法如何在稳定性与精度方面弥合BDF2与Crank-Nicolson格式的差异？
• RQ4 可变时间步长策略（包括几何与随机步长）在多大程度上影响WSBDF2方法的收敛行为？
• RQ5 WSBDF2框架能否推广至更高阶方法（如WSBDF3）在非均匀网格上的应用？其理论挑战是什么？

主要发现

• WSBDF2方法对所有 $ \theta \in [1/2,1] $ 均实现无条件稳定性，当 $ \theta = 1/2 $ 时，最优时间步长比 $ r_k \leq 4 $，显著优于标准BDF2方法允许的最大比值。
• 对所有 $ \theta \in [1/2,1] $，在离散 $ L^2 $-范数下严格证明了最优二阶收敛性，收敛速率与理论预期一致。
• 数值实验验证了所有测试情形下的二阶收敛性：情形I（交替 $ r_k = 4, 1/4 $）、情形II（$ r_k = 2 $）与情形III（随机 $ r_k $），观测到的收敛率接近2.0。
• 在情形II中，当 $ r_k = 2 $ 保持恒定，收敛率仍为二阶，表明在非理想但均匀的步长比下具有鲁棒性。
• 在情形III中，时间步长随机变化，方法仍保持约2.0–2.5的收敛率，表明对不规则时间网格具有鲁棒性。
• 该方法成功连接了BDF2（$ \theta = 1 $）与Crank-Nicolson（$ \theta = 1/2 $），后者在所有测试情形中表现出最一致的收敛性。