[论文解读] Weighted compactifications of configuration spaces and relative stable degenerations

Evangelos Routis|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文引入了在非奇异代数簇 $X$ 上 $n$ 个互异标记点的配置空间的加权紧化 $X_{/mathcal{A}}[n]$，通过引入点权重 $a_i \in (0,1]$，推广了Fulton-MacPherson紧化。该构造是沿权重和超过1的对角线进行的迭代爆破，得到一个具有法线相交边界除子的光滑代数簇；这为相对稳定退化提供了框架，并通过迭代爆破公式给出了其查尔斯环的显式表达。

ABSTRACT

We study a compactification of the configuration space of n distinct labeled points on an arbitrary nonsingular variety. Our construction provides a generalization of the original Fulton-MacPherson compactification that is parallel to the generalization of the moduli space of n-pointed stable curves carried out by Hassett.

研究动机与目标

• 通过引入点权重 $a_i \in (0,1]$，推广Fulton-MacPherson对配置空间的紧化，将模理论框架扩展至加权配置。
• 构造 $F_{\mathcal{A}}(X,n)$ 的 $n$ 个带权重标记点的光滑紧化空间 $X_{\mathcal{A}}[n]$，其中任意重合点子集 $S$ 满足 $\sum_{i \in S} a_i \leq 1$。
• 提供一个相对构造，推广原始的 $X[n]$ 紧化，并得到相对 $\mathcal{A}$-稳定退化的模空间。
• 利用迭代爆破公式与陈类多项式关系，给出 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 查尔斯环的完整描述。

提出的方法

• 将加权紧化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 定义为嵌入 $X^n \times \prod_{\Delta_I \in \mathcal{G}_{\mathcal{A}}} \mathrm{Bl}_{\Delta_I} X^n$ 中的对角嵌入的闭包，其中 $\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ 包含满足 $\sum_{i \in I} a_i > 1$ 的对角线。
• 将 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 构造为 $X^n$ 沿 $\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ 中对角线的主变换的迭代爆破，按维数递增顺序进行。
• 利用Keel对迭代爆破的查尔斯环公式，将 $A^\bullet(X_{\mathcal{A}}[n])$ 表示为 $A^\bullet(X^n)[\{\Delta_I^{(I_j)}\}_{i \leq j}]$ 模特定理想关系的商。
• 证明边界除子为法线相交除子，其分量 $D_I$ 由满足 $\sum_{i \in I} a_i > 1$ 的子集 $I \subset N$ 索引，且交线横截且嵌套。
• 证明通用族 $X_{\mathcal{A}}[n]^+ \to X_{\mathcal{A}}[n]$ 是平坦的，且在非奇异簇之间，从而支持模理论解释。
• 利用陈多项式恒等式 $P_{\Delta_I/X^n}(t) = \prod_{k=1}^{|I|-1} c_{i_k,i_{k+1}}(-t)$ 简化查尔斯环计算中的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Fulton-MacPherson紧化推广至非奇异代数簇上点的加权配置？
• RQ2 加权紧化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 的边界除子结构如何？边界分量在何种条件下相交？
• RQ3 能否通过爆破公式与陈类关系显式给出 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 的查尔斯环？
• RQ4 相对构造 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 如何推广原始 $X[n]$ 紧化，并给出相对 $\mathcal{A}$-稳定退化的模空间？
• RQ5 加权紧化与 genus 0 时 Hassett 的模空间 $\overline{M}_{g,\mathcal{A}}$ 有何关系？

主要发现

• 加权紧化 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 是光滑代数簇，其边界为 $|\mathcal{G}_{\mathcal{A}}|$ 个不可约除子 $D_I$ 的并，索引为满足 $\sum_{i \in I} a_i > 1$ 的子集 $I \subset N$。
• 边界除子横截相交，且非空交 $D_{I_1} \cap \cdots \cap D_{I_k}$ 成立当且仅当集合 $I_j$ 嵌套（即两两不相交或一者包含于另一者）。
• $X_{\mathcal{A}}[n]$ 同构于 $X^n$ 沿 $\mathcal{G}_{\mathcal{A}}$ 中对角线的主变换的迭代爆破，按维数递增顺序进行。
• 查尔斯环 $A^\bullet(X_{\mathcal{A}}[n])$ 表示为 $A^\bullet(X^n)[\{\Delta_I^{(I_j)}\}_{i \leq j}]$ 模一个由四类关系生成的理想，包括重叠集合、$J_I$-关系、弱重叠及陈多项式。
• 每个对角线 $\Delta_I \subset X^n$ 的陈多项式满足 $P_{\Delta_I/X^n}(t) = \prod_{k=1}^{|I|-1} c_{i_k,i_{k+1}}(-t)$，从而简化查尔斯环关系。
• 该构造通过一系列爆破，给出了从原始Fulton-MacPherson空间 $X[n]$ 到 $X_{\mathcal{A}}[n]$ 的双有理态射，将Hassett的加权模空间推广至任意基代数簇。