[论文解读] Weighted dependency graphs

Valentin Féray|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 1

一句话总结

本文引入加权依赖图，即依赖图的推广形式，通过引入边权来量化随机变量之间的依赖强度。通过联合累积量与最大生成树，作者建立了一个新的正态性判据，扩展了Janson与Mikhailov的结果，使得在标准依赖图理论失效的情况下，也能证明成对依赖变量之和的渐近正态性。该方法被应用于随机配对划分、Erdős–Rényi图、排列、排除过程及马尔可夫链，得出新的功能中心极限定理，并解决了关于马尔可夫文本中子词频数渐近正态性的一个开放问题。

ABSTRACT

The theory of dependency graphs is a powerful toolbox to prove asymptotic normality of sums of random variables. In this article, we introduce a more general notion of weighted dependency graphs and give normality criteria in this context. We also provide generic tools to prove that some weighted graph is a weighted dependency graph for a given family of random variables. To illustrate the power of the theory, we give applications to the following objects: uniform random pair partitions, the random graph model $G(n,M)$, uniform random permutations, the symmetric simple exclusion process and multilinear statistics on Markov chains. The application to random permutations gives a bivariate extension of a functional central limit theorem of Janson and Barbour. On Markov chains, we answer positively an open question of Bourdon and Vall\'ee on the asymptotic normality of subword counts in random texts generated by a Markovian source.

研究动机与目标

• 将依赖图理论推广至处理随机变量之间的加权依赖关系。
• 基于加权图的加权度与最大生成树，建立一个新的正态性判据。
• 提供通用工具，用于验证给定的加权图是否可作为某组随机变量的加权依赖图。
• 将该框架应用于多种概率模型，包括随机配对划分、G(n,M)随机图、排列、排除过程及马尔可夫链。
• 解决关于马尔可夫源生成文本中子词频数渐近正态性的开放问题。

提出的方法

• 通过边权在(0,1)范围内的加权图结构引入加权依赖图，其中边权表示随机变量之间依赖强度。
• 定义顶点的加权度为关联边权之和，并将其用于新的正态性判据，该判据推广了Janson与Mikhailov的结果。
• 利用联合累积量量化依赖关系，并将其与加权依赖图中最大生成树的结构联系起来。
• 通过将验证过程简化为基本的矩计算，建立加权图成为有效加权依赖图的判据。
• 将该框架应用于五个关键模型，以证明渐近正态性：均匀随机配对划分、G(n,M)随机图、随机排列、对称简单排除过程及马尔可夫链上的多重线性统计量。
• 利用分段仿射随机函数的紧致性准则，在排列与排除过程设定下建立功能中心极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典依赖图框架能否通过边权推广至处理非二元依赖结构？
• RQ2 基于加权度的判据是否严格强于基于无权度的现有判据？
• RQ3 加权依赖图能否用于证明标准依赖图为完全图（因而无信息量）的模型中的渐近正态性？
• RQ4 Bourdon与Vallée提出的关于马尔可夫文本中子词频数渐近正态性的开放问题，能否通过该新框架解决？
• RQ5 该框架能否为复杂随机过程（如随机排列与排除过程）提供双变量或功能中心极限定理？

主要发现

• 本文基于加权度与最大生成树，为加权依赖图建立了一个新的正态性判据，该判据推广了Janson与Mikhailov的判据。
• 该框架成功证明了在标准依赖图理论失效的模型中，成对依赖变量之和的渐近正态性，例如均匀随机配对划分与G(n,M)随机图。
• 对于随机排列，该方法给出了Janson与Barbour的功能中心极限定理的双变量推广，并通过加权依赖图提供了新证明。
• 该理论通过证明马尔可夫文本中子词频数的渐近正态性，解决了关于其渐近正态性的开放问题，证实了Bourdon与Vallée的猜想。
• 本文提供了一种通用方法，用于验证给定加权图是否为加权依赖图，将任务简化为若干关键情形下的可管理矩计算。