[论文解读] Weighted Efficient Domination in Classes of $P_6$-free Graphs

Andreas Brandstädt, T. Karthick|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在两类 $P_6$-free 图的子类中建立了最小权和最大权高效支配集问题的多项式时间算法：$(P_6, S_{1,1,3})$-free 图与 $(P_6, \text{bull})$-free 圖。通过证明此类圖的平方圖分別為 $P_5$-free 或 (hole,banner)-free，並利用已知的這些類別中最大權獨立集問題的多項式時間解法，作者將高效支配問題的可有效求解範圍擴展至 $P_5$-free 圖之外。

ABSTRACT

In a graph $G$, an efficient dominating set is a subset $D$ of vertices such that $D$ is an independent set and each vertex outside $D$ has exactly one neighbor in $D$. The Minimum Weight Efficient Dominating Set (Min-WED) problem asks for an efficient dominating set of total minimum weight in a given vertex-weighted graph; the Maximum Weight Efficient Dominating Set (Max-WED) problem is defined similarly. The Min-WED/Max-WED is known to be $NP$-complete for $P_7$-free graphs, and is known to be polynomial time solvable for $P_5$-free graphs. However, the computational complexity of the Min-WED/Max-WED problem is unknown for $P_6$-free graphs. In this paper, we show that the Min-WED/Max-WED problem can be solved in polynomial time for two subclasses of $P_6$-free graphs, namely for ($P_6,S_{1,1,3}$)-free graphs, and for ($P_6$, bull)-free graphs.

研究动机与目标

• 解決 $P_6$-free 圖中最小權與最大權高效支配集（Min-WED/Max-WED）問題的開放複雜度狀態。
• 將 Min-WED/Max-WED 問題在 $P_5$-free 圖之外的多項式時間可解性，擴展至特定的 $P_6$-free 子類。
• 建立 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖若具有高效支配集，則其平方圖為 $P_5$-free 的性質。
• 證明 $(P_6, \text{bull})$-free 圖若具有高效支配集，則其平方圖為 (hole,banner)-free。
• 利用已知的 $P_5$-free 與 (hole,banner)-free 圖中最大權獨立集（MWIS）的多項式時間算法，解決目標類別中的 Min-WED/Max-WED 問題。

提出的方法

• 將 Min-WED/Max-WED 問題約化為輸入圖 $G^2$ 上的最大權獨立集（MWIS）問題。
• 證明對於具有高效支配集的 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖，其 $G^2$ 為 $P_5$-free，進而可應用 $P_5$-free 圖的 MWIS 算法。
• 展示對於具有高效支配集的 $(P_6, \text{bull})$-free 圖，其 $G^2$ 為 (hole,banner)-free，進而可應用 (hole,banner)-free 圖的 MWIS 算法。
• 應用先前研究中的定理 1，該定理指出：若 MWIS 在 $G^2$ 上的求解時間為 $T(|G^2|)$，則 Min-WED/Max-WED 可在時間 $O(\min\{nm+n,n^{\mu}\} + T(|G^2|))$ 內求解。
• 利用結構圖論證明：(hole,banner)-free 圖的素圖原子近乎弦圖，進而可應用已知的 MWIS 結果。
• 運用關於素圖與近乎-$\mathcal{C}$ 圖的定理，將 MWIS 的可解性從素圖推廣至一般 (hole,banner)-free 圖。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖中的 Min-WED/Max-WED 問題是否具有多項式時間可解性？
• RQ2 $(P_6, \text{bull})$-free 圖中的 Min-WED/Max-WED 問題是否具有多項式時間可解性？
• RQ3 能否證明具有高效支配集的 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖的平方圖為 $P_5$-free？
• RQ4 能否證明具有高效支配集的 $(P_6, \text{bull})$-free 圖的平方圖為 (hole,banner)-free？
• RQ5 將問題約化至 $G^2$ 上的 MWIS 是否能為這些類別中的 Min-WED/Max-WED 提供多項式時間算法？

主要发现

• Min-WED/Max-WED 問題在 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖中可於多項式時間內求解，時間複雜度為 $O(n^{2}m)$。
• Min-WED/Max-WED 問題在 $(P_6, \text{bull})$-free 圖中可於多項式時間內求解，時間複雜度為 $O(n^{2}m)$。
• 對於任意具有高效支配集的 $(P_6, S_{1,1,3})$-free 圖 $G$，其平方圖 $G^2$ 為 $P_5$-free。
• 對於任意具有高效支配集的 $(P_6, \text{bull})$-free 圖 $G$，其平方圖 $G^2$ 為 (hole,banner)-free。
• 最大權獨立集（MWIS）問題在 (hole,banner)-free 圖上的求解時間為 $O(n^{2}m)$，此結果使 Min-WED/Max-WED 問題亦可在相同時間內求解。
• 證明顯示：任一素 (hole,banner)-free 圖的原子皆近乎弦圖，此性質支援了 MWIS 結果，並基於關於素圖與原子的已知定理。