[论文解读] Weighted Envy-Freeness for Submodular Valuations

Luisa Montanari, Ulrike Schmidt-Kraepelin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了两类新的加权公平性概念——基于可转移性的TWEF$(x,1-x)$和基于边际价值的MWEF$(x,1-x)$，适用于子模和拟阵秩估值。证明了最大加权调和福利（MWHW）分配满足这些公平性概念，并在拟阵秩估值下提供了强于最大加权纳什福利的保证。

ABSTRACT

We investigate the fair allocation of indivisible goods to agents with possibly different entitlements represented by weights. Previous work has shown that guarantees for additive valuations with existing envy-based notions cannot be extended to the case where agents have matroid-rank (i.e., binary submodular) valuations. We propose two families of envy-based notions for matroid-rank and general submodular valuations, one based on the idea of transferability and the other on marginal values. We show that our notions can be satisfied via generalizations of rules such as picking sequences and maximum weighted Nash welfare. In addition, we introduce welfare measures based on harmonic numbers, and show that variants of maximum weighted harmonic welfare offer stronger fairness guarantees than maximum weighted Nash welfare under matroid-rank valuations.

研究动机与目标

• 为解决非可加性、子模估值（尤其是拟阵秩估值）在加权公平性保证方面的空白。
• 将基于嫉妒的公平性概念（如WEF1）扩展到代理具有不同权益（权重）和非可加性估值的情境。
• 开发既在理论上合理又在计算上可行的子模估值公平性新概念。
• 证明最大加权调和福利（MWHW）分配满足所提出的公平性概念，并在拟阵秩估值下优于最大加权纳什福利。
• 确立在MWHW分配中“洁净性”条件的必要性，表明若无此条件，MWHW并不总能推出TWEF$(x,1-x)$。

提出的方法

• 基于可转移性提出TWEF$(x,1,x)$：将代理$i$对代理$j$的物品组合的加权价值，通过从$j$的组合中转移$x$比例的物品价值到$i$自身组合来调整。
• 基于边际价值提出MWEF$(x,1-x)$：公平性基于嫉妒代理视角下物品的边际收益进行评估。
• 使用调和数$H_{k,1} = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}$定义调和福利，并引入最大加权调和福利（MWHW）作为新的福利度量。
• 通过代数不等式和反证法证明，在拟阵秩估值下，MWHW分配满足TWEF$(x,1-x)$和MWEF$(x,1-x)$。
• 利用洁净分配条件表明，MWHW分配并不总是满足TWEF$(x,1-x)$，从而确立该条件的必要性。
• 结合Viswanathan和Zick（2022a）的先前结果，表明当与无权重的功利主义福利最大化结合时，MWHW分配可在多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于嫉妒的公平性概念（如WEF1）扩展到具有不等权重代理的子模估值？
• RQ2 在拟阵秩估值下，最大加权调和福利（MWHW）分配是否提供强于最大加权纳什福利的公平性保证？
• RQ3 是否存在一种公平性概念，可在可加公平性概念失效时，确保拟阵秩估值下的加权嫉妒自由？
• RQ4 MWHW分配与所提出的TWEF$(x,1-x)$和MWEF$(x,1-x)$公平性概念之间有何关系？
• RQ5 MWHW分配满足TWEF$(x,1-x)$时，洁净性条件是否必要？能否构造反例以证明其必要性？

主要发现

• 在拟阵秩估值下，最大加权调和福利（MWHW）分配满足TWEF$(x,1-x)$和MWEF$(x,1-x)$公平性概念。
• 理论比较与反例表明，MWHW分配在拟阵秩估值下提供的公平性保证强于最大加权纳什福利。
• 存在MWHW分配不满足TWEF$(x,1-x)$的实例，表明洁净性条件对实现该蕴含关系是必要的。
• 若MWHW分配同时最大化无权重功利主义福利，则可在多项式时间内计算，基于先前的算法结果。
• 对于权重相等且具有整数可加估值的代理，调和福利最大化可产生EF1分配，从而扩展了调和福利与标准公平性之间的联系。
• 非可加设定下WEF1不可行（如例1.1）的问题，通过新公平性概念得以克服，这些概念在拟阵秩估值下被证明是可满足的。