[论文解读] Weighted frames of exponentials and stable recovery of multidimensional functions from nonuniform Fourier samples

Ben Adcock, Milana Gatarić+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 43被引用 3

一句话总结

该论文证明，只要密度足够高——且无需最小分离要求——非均匀傅里叶采样点即可通过加权傅里叶框架稳定恢复多维紧支撑函数。论文为支撑在球面上的函数提供了显式的、无量纲的框架界，并通过NUGS算法实现了稳定且近乎最优的重建，且在径向和螺旋等实际采样方案上得到了验证。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of recovering a compactly supported multivariate function from a collection of pointwise samples of its Fourier transform taken nonuniformly. We do this by using the concept of weighted Fourier frames. A seminal result of Beurling shows that sample points give rise to a classical Fourier frame provided they are relatively separated and of sufficient density. However, this result does not allow for arbitrary clustering of sample points, as is often the case in practice. Whilst keeping the density condition sharp and dimension independent, our first result removes the separation condition and shows that density alone suffices. However, this result does not lead to estimates for the frame bounds. A known result of Groechenig provides explicit estimates, but only subject to a density condition that deteriorates linearly with dimension. In our second result we improve these bounds by reducing the dimension dependence. In particular, we provide explicit frame bounds which are dimensionless for functions having compact support contained in a sphere. Next, we demonstrate how our two main results give new insight into a reconstruction algorithm---based on the existing generalized sampling framework---that allows for stable and quasi-optimal reconstruction in any particular basis from a finite collection of samples. Finally, we construct sufficiently dense sampling schemes that are often used in practice---jittered, radial and spiral sampling schemes---and provide several examples illustrating the effectiveness of our approach when tested on these schemes.

研究动机与目标

• 在不依赖采样点间最小分离要求的前提下，实现对紧支撑多变量函数的稳定恢复。
• 为函数支撑在球面上时的加权傅里叶框架，提供显式、与维度无关的框架界。
• 将广义采样框架（NUGS）扩展至多变量设置，实现从有限非均匀采样中稳定且近乎最优的重建。
• 在新理论框架下分析实际采样方案（如抖动、径向、螺旋）的性能，并通过数值实验验证其有效性。
• 建立理论基础，确保在任意有限维函数空间中，利用非均匀采样实现重建的稳定性和准确性。

提出的方法

• 引入加权傅里叶框架，以处理非均匀采样，且无需采样点间存在分离。
• 利用Beurling密度条件，并采用精确的、与维度无关的阈值：δ_E^∘ < 1/4，适用于紧致、凸、对称的支撑集。
• 推导出针对球面支撑函数的显式框架界，其为无量纲形式，显著优于Gröchenig的具有线性维度依赖性的边界。
• 应用NUGS（非均匀广义采样）框架，从非均匀傅里叶采样中重建任意有限维空间中的函数。
• 构建并分析满足所需密度条件 δ_E^∘ < 1/4 的实际采样方案（抖动、径向、螺旋）。
• 通过数值实验，展示在满足理论条件时，利用这些采样模式对测试函数实现稳定且近乎最优的重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加最小分离条件的前提下，仍确保多维函数从非均匀傅里叶采样中实现稳定恢复？
• RQ2 当函数支撑为球面时，加权傅里叶框架的显式、与维度无关的框架界是什么？
• RQ3 如何在多变量设置中扩展并证明NUGS算法在非均匀采样下实现稳定重建的合理性？
• RQ4 如径向和螺旋轨迹等实际采样方案是否满足理论密度条件 δ_E^∘ < 1/4，并能实现稳定重建？
• RQ5 在NUGS框架下，采样带宽K与重建精度之间存在何种关系？

主要发现

• 仅凭密度，当 δ_E^∘ < 1/4 时，即可保证存在加权傅里叶框架，即使采样点间无分离亦可。
• 推导出针对球面支撑函数的显式无量纲框架界，显著优于Gröchenig的具有线性维度依赖性的结果。
• 当采样密度满足 δ_E^∘ < 1/4 且采样带宽K足够大时，NUGS算法可确保稳定且近乎最优的重建。
• 抖动、径向和螺旋采样方案均满足所需的 (K, δ_E^∘)-密度条件，且 δ_E^∘ < 0.25，从而实现稳定恢复。
• 数值实验表明，当理论条件满足时，这些采样方案的重建结果具有高精度，即使在低密度下亦然。
• 该理论框架支持在任意有限维空间（包括小波、多项式、曲线波等）中实现重建，且在密度条件满足时可保证稳定恢复。