[论文解读] Weighted Hardy spaces on the unit disk

Evgeny A. Poletsky|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了在通过极限函数定义的加权 Hardy 空间 $H^p_u(\mathbb{D})$ 上，对于 $p > 0$，扩张映射 $f_t(z) = f(tz)$ 沿 $H^p_u$-范数收敛于 $f$，这表明多项式在 $H^p_u(\mathbb{D})$ 中是稠密的。此外，本文还证明了全纯函数的 $h^p_u$-范数等于其边界值的 $L^p_u$-范数，并且测度 $\mu_{u,r}$ 以比以往更强的方式弱*收敛于 $\mu_u$。

ABSTRACT

In this paper we mainly discuss three things. First, there is no canonical norm on the space $H^p_u(\mathbb{D})$. Second, we improve the weak-$*$ convergence of the measures $μ_{u,r}$. Third, the dilations $f_t$ of the function $f\in H^p_u(\mathbb{D})$ converge to $f$ in $H^p_u$-norm and hence the polynomials are dense in $H^p_u(\mathbb{D})$.

研究动机与目标

• 研究对于 $p > 0$，加权 Hardy 空间 $H^p_u(\mathbb{D})$ 中扩张映射 $f_t(z) = f(tz)$ 的收敛性。
• 通过扩张收敛性证明多项式在 $H^p_u(\mathbb{D})$ 中是稠密的。
• 加强测度 $\mu_{u,r}$ 到 $\mu_u$ 的弱*收敛性，使其强于 Demailly 的结果。
• 澄清 $h^p_u$-范数与边界值的 $L^p_u$-范数之间的关系。
• 证明 $H^p_u(\mathbb{D})$ 上不存在规范范数，原因在于极限函数的非唯一性。

提出的方法

• 本文利用 Lelong–Jensen 公式将 $H^p_u$-范数表示为涉及 $|f|^p$ 和 $\Delta u$ 的积分。
• 通过单调收敛定理及次调和函数的性质，将范数定义中的 $\varlimsup$ 替换为 $\lim$。
• 通过分析在水平集 $S_{u,r}$ 上的积分极限，证明 $\mu_{u,r}$ 在 $C^*(\overline{\mathbb{D}})$ 中弱*收敛于 $\mu_u$。
• 通过证明 $\|f_t - f\|_{H^p_u} \to 0$，利用 Egorov 定理与边界值的 $L^p$-收敛性，建立扩张映射 $f_t$ 在 $H^p_u$ 中的范数收敛性。
• 通过 Poisson 积分表示与 $|f|^p$ 的次调和性，将 $\|f_t\|_{H^p_u}$ 与 $\|f^*\|_{L^p_u}$ 进行比较。
• 通过证明 $S_{u,r}$ 上积分的极限与边界 $L^p$-范数相等，证明 $\|f\|_{H^p_u}^p = \|f^*\|_{L^p_u}^p$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$，扩张映射 $f_t(z) = f(tz)$ 是否在 $H^p_u$-范数下收敛于 $f$？
• RQ2 对于 $p > 0$，多项式是否在 $H^p_u(\mathbb{D})$ 中稠密？
• RQ3 是否可以将 $\mu_{u,r}$ 到 $\mu_u$ 的弱*收敛性加强至超越 Demailly 结果的程度？
• RQ4 是否存在由唯一极限函数诱导的 $H^p_u(\mathbb{D})$ 上的规范范数？
• RQ5 $h^p_u$-范数与边界函数的 $L^p_u$-范数之间有何关系？

主要发现

• 对于所有 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$ 和 $p > 0$，扩张映射 $f_t(z) = f(tz)$ 沿 $H^p_u$-范数收敛于 $f$。
• 由于扩张收敛性，对于 $p > 0$，多项式在 $H^p_u(\mathbb{D})$ 中是稠密的。
• 测度 $\mu_{u,r}$ 在 $C^*(\overline{\mathbb{D}})$ 中弱*收敛于 $\mu_u$，且该收敛性强于以往已知的结果。
• 对于 $f \in H^p_u(\mathbb{D})$，其 $H^p_u$-范数等于其径向边界函数 $f^*$ 的 $L^p_u$-范数。
• 全纯函数的 $h^p_u$-范数等于其边界值函数的 $L^p_u$-范数。
• 不存在 $H^p_u(\mathbb{D})$ 上的规范范数，因为 $\mathcal{E}_0$ 中不同的极限函数会给出相同的函数空间，但单位球不同，且这些单位球的交集即为 $H^\infty(\mathbb{D})$ 的单位球。