[论文解读] Weighted infinitesimal unitary bialgebras on matrix algebras and weighted associative Yang-Baxter equations

Yi Zhang, Xing Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过加权关联杨-Baxter方程（AYBE）的解构造了矩阵代数上的加权无穷小单位双代数。它建立了权重为 $\lambda$ 的 AYBE 解与权重为 $-\lambda$ 的 Rota-Baxter 算子之间的双射，并利用此关系构建了加权拟三角无穷小单位双代数，进一步在矩阵代数上诱导出 dendriform 代数结构。

ABSTRACT

We equip a matrix algebra with a weighted infinitesimal unitary bialgebraic structure, via a construction of a suitable coproduct. Furthermore, an infinitesimal unitary Hopf algebra, under the view of Aguiar, is constructed on a matrix algebra. By exploring the relationship between weighted infinitesimal bialgebras and pre-Lie algebras, we construct a pre-Lie algebraic structure and then a new Lie algebraic structure on a matrix algebra. We also introduce the weighted associative Yang-Baxter equations (AYBEs) and obtain the relationship between solutions of weighted AYBEs and weighted infinitesimal unitary bialgebras. We give a bijection between the solutions of the associative Yang-Baxter equation of weight $λ$ and Rota-Baxter operators of weight $-λ$ on matrix algebras. As a consequence, weighted quasitriangular infinitesimal unitary bialgebras are constructed, which generalize the results studied by Aguiar. Finally, We show that any weighted quasitriangular infinitesimal unitary bialgebra can be made into a dendriform algebra.

研究动机与目标

• 通过源自加权关联杨-Baxter方程（AYBE）解的余乘法，构造矩阵代数上的加权无穷小单位双代数。
• 在矩阵代数上，建立权重为 $\lambda$ 的加权 AYBE 解与权重为 $-\lambda$ 的 Rota-Baxter 算子之间的双射。
• 通过引入加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数，推广 Aguiar 的拟三角无穷小双代数框架。
• 证明任意加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数均可用于在基代数上构造 dendriform 代数结构。
• 探讨 pre-Lie 代数、加权无穷小双代数与 Rota-Baxter 算子在矩阵代数上诱导的代数结构之间的相互作用。

提出的方法

• 通过矩阵代数 $A$ 上的解 $r \in A \otimes A$ 定义余乘法 $\Delta_r$，该解满足权重为 $\lambda$ 的加权 AYBE，且满足 $\Delta_r(ab) = a \cdot \Delta_r(b) + \Delta_r(a) \cdot b + \lambda(a \otimes b)$。
• 在加权无穷小双代数上赋予对极元，依据 Aguiar 的框架，在矩阵代数上实现无穷小单位双 Hopf 代数结构。
• 通过公式 $r = \sum u_i \otimes v_i$ 和算子 $P(a) = \sum u_i a v_i$，在矩阵代数上建立权重为 $\lambda$ 的加权 AYBE 解与权重为 $-\lambda$ 的 Rota-Baxter 算子之间的双射。
• 利用余乘法和加权双代数结构，在矩阵代数上定义 pre-Lie 代数结构，其乘法为 $a \ast b = \sum u_i a v_i b$。
• 通过加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数在 $A$ 上构造 dendriform 代数结构，其运算为 $a \succ b = \sum u_i a v_i b$ 和 $a \prec b = \sum a u_i b v_i - \lambda ab$。
• 通过利用加权 AYBE 和 Rota-Baxter 代数的性质，验证所得运算满足 dendriform 代数公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过合适的余乘法在矩阵代数上赋予加权无穷小单位双代数结构？
• RQ2 在矩阵代数上，权重为 $\lambda$ 的加权关联杨-Baxter 方程解与权重为 $-\lambda$ 的 Rota-Baxter 算子之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否从加权 AYBE 的解构造加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数？它们会诱导出何种代数结构？
• RQ4 加权无穷小双代数与矩阵代数上的 pre-Lie 和 dendriform 代数结构之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数能诱导出 dendriform 代数？

主要发现

• 在矩阵代数上，建立了权重为 $\lambda$ 的加权关联杨-Baxter 方程解与权重为 $-\lambda$ 的 Rota-Baxter 算子之间的双射。
• 通过由加权 AYBE 解定义的余乘法 $\Delta_r$，在矩阵代数上实现了加权无穷小单位双代数的构造，其中 $\Delta_r(ab) = a \cdot \Delta_r(b) + \Delta_r(a) \cdot b + \lambda(a \otimes b)$，且 $r$ 是加权 AYBE 的解。
• 通过在加权无穷小双代数上赋予对极元，依据 Aguiar 的框架，在矩阵代数上实现了无穷小单位双 Hopf 代数结构。
• 通过余乘法和加权双代数公理，在矩阵代数上构造了 pre-Lie 代数结构，其乘法为 $a \ast b = \sum u_i a v_i b$。
• 通过加权拟三角 $\epsilon$-单位双代数，在矩阵代数上诱导出 dendriform 代数结构，其运算为 $a \succ b = \sum u_i a v_i b$ 和 $a \prec b = \sum a u_i b v_i - \lambda ab$，且满足 dendriform 公理。
• 三元组 $(A, \succ, \prec)$ 构成一个 dendriform 代数，其公理由加权 AYBE 和 Rota-Baxter 代数框架的性质所证明。