[论文解读] Weighted K-stability of polarized varieties and extremality of Sasaki manifolds

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 69被引用 15

一句话总结

本文通过将 Lahdili 的加权 K-稳定性框架扩展至 Sasaki 几何，为正规类型的紧致 Sasaki 流形引入了相对加权 K-稳定性的概念。它证明了相对于极大环面的加权 K-稳定性是极值 Sasaki 度量存在的必要条件，并在特定测试配置下建立了 Sasaki 流形的加权 K-稳定性与极化仿射锥的 K-稳定性之间的等价性，从而强化了对零数量曲率 Kähler 锥度量的先前障碍。

ABSTRACT

We use the correspondence between extremal Sasaki structures and weighted extremal Kahler metrics defined on a regular quotient of a Sasaki manifold, established by the first two authors, and Lahdili's theory of weighted K-stability in order to define a suitable notion of (relative) weighted K-stability for compact Sasaki manifolds of regular type. We show that the (relative) weighted K-stability with respect to a maximal torus is a necessary condition for the existence of a (possibly irregular) extremal Sasaki metric. We also compare weighted K-stability to the K-stability of the corresponding polarized affine cone (introduced by Collins-Szekelyhidi), and prove that they agree on the class of test configurations we consider. As a byproduct, we strengthen the obstruction to the existence of a scalar-flat Kahler cone metric from the K-semistability to the K-stability on these test configurations. We use our approach to give a characterization of the existence of a compatible extremal Sasaki structure on a principal circle bundle over an admissible ruled manifold, expressed in terms of the positivity of a single polynomial of one variable over a given interval.

研究动机与目标

• 使用 Lahdili 的理论，为正规类型的紧致 Sasaki 流形定义合适的（相对）加权 K-稳定性概念。
• 证明相对于极大环面的加权 K-稳定性是极值 Sasaki 度量存在的必要条件，即使在非正规情形下也成立。
• 将 Sasaki 流形的加权 K-稳定性与 Collins–Székelyhidi 定义的关联极化仿射锥的 K-稳定性进行比较。
• 证明在所考虑的测试配置类上，加权 K-稳定性与仿射锥的 K-稳定性等价。
• 通过该框架，将对零数量曲率 Kähler 锥度量的障碍从 K-半稳定强化为 K-稳定。

提出的方法

• 利用第一、二作者在先前工作中建立的关于 Sasaki 流形正则商上极值 Sasaki 结构与加权极值 Kähler 度量之间的对应关系。
• 将 Lahdili 的加权 K-稳定性理论应用于通过其正则商定义 Sasaki 流形的加权 K-稳定性条件。
• 引入与 Sasaki 流形上环面作用相关的接触 Futaki 不变量 $\mathrm{Fut}_K$，若存在常数量曲率（CSC）Sasaki 结构，则该不变量为零。
• 通过势函数映射解释和 $L^2$-内积 $\langle\!\langle \cdot, \cdot \rangle\!\rangle_\sigma$ 定义极值向量场 $K_{\mathrm{ext}}$ 和常数 $c_K$。
• 依赖于 Sasaki 流形与其关联仿射锥 $(V,J,K)$ 之间的对应关系，通过代数几何技巧将 K-稳定性条件转移过去。
• 将 Sasaki 侧的加权 K-稳定性条件与极化仿射锥的 K-稳定性进行比较，证明在所考虑的测试配置下两者一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为正规类型的紧致 Sasaki 流形有意义地定义加权 K-稳定性？
• RQ2 相对于极大环面的加权 K-稳定性是否是极值 Sasaki 度量存在的必要条件？
• RQ3 Sasaki 流形上的加权 K-稳定性与关联极化仿射锥的 K-稳定性之间有何关系？
• RQ4 能否通过该框架将对零数量曲率 Kähler 锥度量的障碍从 K-半稳定强化为 K-稳定？
• RQ5 接触 Futaki 不变量 $\mathrm{Fut}_K$ 在阻碍 CSC Sasaki 结构存在性方面起什么作用？

主要发现

• 本文使用 Lahdili 的框架，为正规类型的紧致 Sasaki 流形定义了（相对）加权 K-稳定性的概念。
• 证明了相对于极大环面的加权 K-稳定性是极值 Sasaki 度量存在的必要条件，即使在非正规情形下也成立。
• 在所考虑的测试配置类上，Sasaki 流形的加权 K-稳定性与关联极化仿射锥的 K-稳定性一致。
• 对零数量曲率 Kähler 锥度量存在的障碍，已从 K-半稳定强化为 K-稳定。
• 定义了接触 Futaki 不变量 $\mathrm{Fut}_K$，并证明其在 $\mathbb{T}$-不变的相容 CR 结构空间中与复结构无关，从而为 CSC Sasaki 度量的存在提供了必要条件。
• 在拟正规情形下，$\mathrm{Fut}_K$ 与 Lahdili 工作中的加权 Futaki 不变量一致，确认了与 Kähler 侧的一致性。