[论文解读] Weighted local Hardy spaces associated to Schrödinger operators

Hua Zhu, Lin Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过临界半径函数 $\rho$ 和权重 $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$，引入了与Schrödinger算子相关的加权局部Hardy空间 $h^p_{\rho}(\omega)$，建立了其原子分解、极大函数表征以及拟Banach值次线性算子的有界性。主要贡献在于证明了当 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时，$h^1_{\rho}(\omega)$ 与加权Hardy空间 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ 等价，填补了现有理论中的空白。

ABSTRACT

In this paper, we characterize the weighted local Hardy spaces $h^p_ρ(ω)$ related to the critical radius function $ρ$ and weights $ω\in A_{\infty}^{ρ,\,\infty}(\mathbb{R}^{n})$ which locally behave as Muckenhoupt's weights and actually include them, by the local vertical maximal function, the local nontangential maximal function and the atomic decomposition. By the atomic characterization, we also prove the existence of finite atomic decompositions associated with $h^{p}_ρ(ω)$. Furthermore, we establish boundedness in $h^p_ρ(ω)$ of quasi- Banach-valued sublinear operators. As their applications, we establish the equivalence of the weighted local Hardy space $h^1_ρ(ω)$ and the weighted Hardy space $H^1_{\cal L}(ω)$ associated to Schrödinger operators $\cal L$ with $ω\in A_1^{ρ,\infty}(\mathbb{R}^{n})$

研究动机与目标

• 通过临界半径函数 $\rho$ 和权重 $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$，建立与Schrödinger算子相关的加权局部Hardy空间 $h^p_{\rho}(\omega)$ 的理论。
• 为 $\omega \in A^\rho_{q,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 的 $h^p_{\rho}(\omega)$ 建立原子、垂直极大函数和非切向极大函数表征。
• 证明 $h^p_{\rho}(\omega)$ 中存在有限原子分解，并证明拟Banach值次线性算子在此空间上的有界性。
• 建立当 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时，$h^1_{\rho}(\omega)$ 与加权Hardy空间 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ 的等价性，将已知结果推广至这一新的权类。

提出的方法

• 通过局部广义最大函数引入加权局部Hardy空间 $h^p_{\rho,N}(\omega)$，将其定义为在局部化最大准范数下测试函数的完备化。
• 利用局部Calderón再生公式和Rychkov [23] 的估计，通过局部垂直和非切向极大函数建立 $h^p_{\rho,N}(\omega)$ 的表征。
• 在加权局部设定下，发展一种适配于广义最大函数的Calderón-Zygmund分解。
• 通过一种不同于 [17, 6] 但与 [1, 28, 36] 一致的方法，证明原子Hardy空间 $h^{p,q,s}_{\rho}(\omega)$ 与 $h^p_{\rho,N}(\omega)$ 具有等价范数。
• 定义有限原子Hardy空间 $h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)$，并证明当 $q < \infty$ 时，其拟范数与 $\|\cdot\|_{h^p_{\rho}(\omega)}$ 等价，从而实现有限原子分解。
• 应用原子表征证明 $\mathcal{B}_\beta$-次线性算子的有界性，并建立当 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时，$h^1_{\rho}(\omega) = H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ 的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于权重 $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$，加权局部Hardy空间 $h^p_{\rho}(\omega)$ 是否可通过原子分解、局部垂直极大函数和非切向极大函数表征？
• RQ2 当 $q < \infty$ 时，$h^p_{\rho}(\omega)$ 中是否存在有限原子分解？
• RQ3 拟Banach值次线性算子在 $h^p_{\rho}(\omega)$ 上是否为有界算子？
• RQ4 当 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时，加权局部Hardy空间 $h^1_{\rho}(\omega)$ 是否与Schrödinger算子相关的加权Hardy空间 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ 等价？

主要发现

• 对于 $\omega \in A^\rho_{q,\infty}(\mathbb{R}^n)$，加权局部Hardy空间 $h^p_{\rho}(\omega)$ 可通过局部垂直极大函数、局部非切向极大函数和原子分解实现等价表征。
• 当 $q < \infty$ 时，$h^p_{\rho}(\omega)$ 中存在有限原子分解，且其拟范数 $\|\cdot\|_{h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)}$ 与 $\|\cdot\|_{h^p_{\rho}(\omega)}$ 等价。
• 拟Banach值次线性算子在 $h^p_{\rho}(\omega)$ 上有界，将Meda-Sjögren-Vallarino [21] 和Yang-Zhou [38] 的结果推广至加权局部设定。
• 当 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 时，空间 $h^1_{\rho}(\omega)$ 与 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ 等价，且范数等价。
• 等价性的证明依赖于 $h^1_{\rho}(\omega)$ 的原子表征，因为直接方法来自 [10, 11] 在 $A^\rho_{1,\infty}$ 权的性质下失效。
• 通过验证所有 $(1,q,s)_\omega$-原子满足 $\|\mathcal{T}^*(a)\|_{L^1_\omega} \lesssim 1$（其中 $1 < q \leq 1 + \delta/n$），利用加权估计和核的衰减性质，建立了 $\mathcal{T}^*$ 从 $h^1_{\rho}(\omega)$ 到 $L^1_\omega(\mathbb{R}^n)$ 的有界性。