[论文解读] Weighted One-Deterministic-Counter Automata

Prince Mathew, Vincent Penelle+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用 2

一句话总结

本文引入加权单确定计数器自动机（odca），一种将计数器操作与状态转移分离的模型，确保计数器确定性——即对于给定输入的所有路径均产生相同的计数器效应。主要贡献在于证明了在域上加权odca的等价性问题属于P类，同时证明了共-VS可达性、正则性及覆盖等价性问题在多项式时间内可判定。

ABSTRACT

We introduce weighted one-deterministic-counter automata (odca). These are weighted one-counter automata (oca) with the property of counter-determinacy, meaning that all paths labelled by a given word starting from the initial configuration have the same counter-effect. Weighted odcas are a strict extension of weighted visibly ocas, which are weighted ocas where the input alphabet determines the actions on the counter. We present a novel problem called the co-VS (complement to a vector space) reachability problem for weighted odcas over fields, which seeks to determine if there exists a run from a given configuration of a weighted odca to another configuration whose weight vector lies outside a given vector space. We establish two significant properties of witnesses for co-VS reachability: they satisfy a pseudo-pumping lemma, and the lexicographically minimal witness has a special form. It follows that the co-VS reachability problem is in 𝖯. These reachability problems help us to show that the equivalence problem of weighted odcas over fields is in 𝖯 by adapting the equivalence proof of deterministic real-time ocas [Stanislav Böhm and Stefan Göller, 2011] by Böhm et al. This is a step towards resolving the open question of the equivalence problem of weighted ocas. Finally, we demonstrate that the regularity problem, the problem of checking whether an input weighted odca over a field is equivalent to some weighted automaton, is in 𝖯. We also consider boolean odcas and show that the equivalence problem for (non-deterministic) boolean odcas is in PSPACE, whereas it is undecidable for (non-deterministic) boolean ocas.

研究动机与目标

• 定义并形式化加权单确定计数器自动机（odca）作为一种语法模型，具备计数器确定性，确保对于给定输入的所有路径产生一致的计数器效应。
• 通过限制于odca模型，解决加权单计数器自动机等价性问题的开放难题，该模型将计数器更新与状态转移分离。
• 建立在域上加权odca的关键决策问题——共-VS可达性、正则性及覆盖等价性——的多项式时间可判定性。
• 探索非确定性odca的计算边界，表明等价性问题为PSPACE完全，而一般非确定性oca中则出现不可判定性。
• 为未来在加权计数器自动机中学习与扩展确定性模型的研究提供基础。

提出的方法

• 将odca定义为双组件系统：一个基于输入和零测试条件修改计数器的确定性计数器结构，以及一个不修改计数器但分配权重的有限状态机。
• 引入共-VS可达性问题：判断是否存在从给定配置到权重向量位于指定向量空间之外的配置的运行。
• 为共-VS可达性的见证建立伪泵送引理，表明最小解具有结构约束。
• 证明共-VS可达性的字典序最小见证具有特殊且规则的形式，从而支持高效计算。
• 利用见证的结构特性，证明共-VS可达性可在多项式时间内判定。
• 借鉴确定性实时oca等价性证明技术，通过共-VS可达性框架，证明域上加权odca的等价性问题属于P类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在受限模型下，加权单计数器自动机的等价性问题是否可在多项式时间内判定？
• RQ2 在域上加权odca中，共-VS可达性问题的计算复杂度如何？
• RQ3 正则性问题——即判断加权odca是否等价于某个加权有限自动机——是否可在多项式时间内判定？
• RQ4 对于未初始化的加权odca，覆盖与可覆盖等价性问题是否可在多项式时间内判定？
• RQ5 非确定性布尔odca的等价性问题复杂度如何？与非确定性布尔oca的不可判定性相比有何差异？

主要发现

• 在域上加权odca的共-VS可达性问题可在多项式时间内判定，原因在于见证的结构约束，包括伪泵送引理以及字典序最小见证的特殊形式。
• 在域上加权odca的等价性问题属于P类，通过借鉴确定性实时oca的等价性证明技术，并利用共-VS可达性框架实现。
• 正则性问题——即判断域上加权odca是否等价于加权有限自动机——可在多项式时间内判定。
• 对于未初始化的加权odca，覆盖与可覆盖等价性问题可在多项式时间内判定。
• 非确定性布尔odca的等价性问题属于PSPACE，而一般非确定性布尔oca中则为不可判定，凸显了计数器非确定性在不可判定性中的作用。
• 非确定性odca的确定化会导致状态规模呈指数级增长，但可在多项式空间内完成，表明非确定性odca是确定性odca的紧凑表示。