[论文解读] Weighted Orthogonal Polynomials-Based Generalization of Wirtinger-Type Integral Inequalities for Delayed Continuous-Time Systems

Xian Zhang, Yuanyuan Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一类基于加权正交多项式的新型积分不等式，该不等式广义化并改进了现有的 Wirtinger 型和 Jensen 不等式，用于时滞连续时间系统的稳定性分析。通过利用关于加权内积的正交多项式，所提出的不等式为 Lyapunov-Krasovskii 泛函导数中的积分项提供了更紧的下界，从而得到更不保守的稳定性判据；其特殊情形可恢复或改进文献中的先前结果。

ABSTRACT

In the past three years, many researchers have proven and/or employed some Wirtinger-type integral inequalities to establish less conservative stability criteria for delayed continu\-ous-time systems. In this present paper, we will investigate weighted orthogonal polynomials-based integral inequalities which is a generalization of the existing Jensen's inequalities and Wirtinger-type integral inequalities.

研究动机与目标

• 为时滞连续时间系统中 Lyapunov-Krasovskii 泛函导数的积分项构建更紧的积分不等式。
• 降低通过 Jensen 不等式或 Wirtinger 型不等式导出的现有稳定性判据中固有的保守性。
• 将现有的积分不等式（包括 Jensen 不等式和 Wirtinger 型不等式）统一并广义化为更广泛框架下的特例。
• 基于加权正交多项式，提供一种系统化方法，用于推导涉及时滞状态及其导数的积分项的改进下界。

提出的方法

• 在区间 $[a,b]$ 上，基于权函数 $(s-a)^m$，推导出一种基于加权正交多项式（WOPs）的一般积分不等式。
• 在次数 $\leq \mathcal{N}$ 的多项式空间中，构造关于内积 $(p,q)_m = \int_a^b (s-a)^m p(s)q(s) \, ds$ 的正交基 $\{p_{km}(s)\}$。
• 应用正交性性质，推导出积分 $\mathcal{I}_m(w_t) = \int_a^b \cdots \int_{\theta_m}^b w_t^T(s) R w_t(s) \, ds \cdots d\theta_1$ 的下界。
• 建立不等式 $\mathcal{I}_m(w_t) \geq \frac{(m+1)!}{(b-a)^{m+1}} \left( \Theta_m^T R \Theta_m + \text{高阶项} \right)$，其中 $\Theta_m$ 涉及 $w_t(b)$ 的加权平均值以及 $w_t(s)$ 的积分。
• 证明当 $\mathcal{N} = 0$ 或 $\mathcal{N} = 1$ 时，该不等式退化为已知结果（如 Jensen 不等式或 Wirtinger 型不等式），且当 $\mathcal{N} \geq 2$ 时可进一步改进。
• 利用该框架推导出 $\mathcal{N} = 0,1$ 的具体推论，并与 [11, 12, 14, 15, 16, 23, 29, 30] 中的结果进行比较，表明其边界更紧。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用加权正交多项式构造一类广义的积分不等式，使其涵盖并改进现有的 Wirtinger 型和 Jensen 不等式？
• RQ2 多项式次数 $\mathcal{N}$ 的选择如何影响 $\mathcal{I}_m(w_t)$ 的下界紧致性？
• RQ3 与现有方法相比，新不等式在时滞连续时间系统的稳定性判据中能多大程度上减少保守性？
• RQ4 所提出的不等式是否等价于或严格优于已知结果（如 [14, 15, 16, 29, 30] 中的结果）？

主要发现

• 所提出的基于 WOPs 的不等式作为特例，广义化了 Jensen 不等式（当 $\mathcal{N} = 0$ 时）和 Wirtinger 型不等式（当 $\mathcal{N} = 1$ 时）。
• 当 $\mathcal{N} = 1$ 时，该不等式提供的下界比 [8, 引理 5 和 6] 更紧，其系数 $\frac{m!(m+1)^2(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$ 大于后者 $\frac{m!(m+3)}{(b-a)^{m+1}}$。
• 当 $\mathcal{N} = 1$ 且 $m=1$ 时，该不等式与 [15, (25)] 一致，并被证明比 [11, 引理 2.4] 和 [12, (13)] 更不保守。
• 当 $\mathcal{N} = 1$ 且 $m=1$ 时，所导出的不等式与 [29, 引理 4] 和 [30, 引理 1] 等价，但无需引入自由权矩阵。
• 推论 13 中 $\mathcal{I}_1(\dot{w}_t)$ 的边界比 [14, 推论 1] 更紧，因为第二项的系数更大。
• 通过将 $(s-a)^k$ 替换为 $(b-s)^k$，该框架可进一步拓展，从而导出广义化 [18, 推论 4]、[23, (3.1) 和 (3.8)] 以及 [15, (18) 和 (26)] 的新不等式。