[论文解读] Weighted Poincar\'e inequalities, concentration inequalities and tail bounds related to the behavior of the Stein kernel in dimension one

Adrien Saumard|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文建立了在一维情形下，Stein密度方法与函数不等式之间的联系，利用Stein核作为权重，证明了加权Poincaré不等式与Brascamp-Lieb不等式。文章推导出新的集中与尾部概率界限，包括广义Mills不等式及Lipschitz函数的子高斯集中性，其关键贡献在于提出一个用于控制随机变量拉普拉斯变换的一般性引理，从而实现集中不等式的推导。

ABSTRACT

We investigate the links between the so-called Stein's density approach in dimension one and some functional and concentration inequalities. We show that measures having a finite first moment and a density with connected support satisfy a weighted Poincar\'e inequality with the weight being the Stein kernel. Furthermore we prove asymmetric Brascamp-Lieb type inequalities related to the Stein kernel. We also show that existence of a uniformly bounded Stein kernel is sufficient to ensure a positive Cheeger isoperimetric constant. Then we derive new concentration inequalities. In particular, we prove generalized Mills' type inequalities when the Stein kernel is uniformly bounded and sub-gamma concentration for Lipschitz functions of a variable with sub-linear Stein kernel. When some exponential moments are finite, a general concentration inequality is then expressed in terms of Legendre-Fenchel transform of the Laplace transform of the Stein kernel. Along the way, we prove a general lemma for bounding the Laplace transform of a random variable, that should be very useful in many other contexts when deriving concentration inequalities. Finally, we provide density and tail formulas as well as tail bounds, generalizing previous results that where obtained in the context of Malliavin calculus.

研究动机与目标

• 探索一维概率分布中Stein核与函数不等式之间的关系。
• 利用Stein核作为权重，建立加权Poincaré不等式与Brascamp-Lieb型不等式。
• 推导出具有次线性或有界Stein核的随机变量的新集中与尾部概率界限。
• 提出一个用于控制随机变量拉普拉斯变换的一般性引理，以促进集中不等式的推导。
• 将现有关于密度与尾部公式结果的推广，超越Malliavin微积分框架。

提出的方法

• 通过将Stein核用作具有有限一阶矩和连通支撑集测度的权重函数，推导出加权Poincaré不等式。
• 基于一维情形下Stein核的结构，证明了非对称的Brascamp-Lieb不等式。
• 在Stein核一致有界条件下，建立正的Cheeger等周常数。
• 应用一个用于控制随机变量拉普拉斯变换的一般性引理，以推导集中不等式。
• 当指数矩有限时，以Stein核的拉普拉斯变换的Legendre-Fenchel变换形式表达集中不等式。
• 推导出显式的密度与尾部公式，将先前基于Malliavin微积分的结果推广至更广泛的分布类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维分布中，Stein核如何与加权Poincaré不等式相关联？
• RQ2 能否将Stein核作为结构要素，推导出非对称的Brascamp-Lieb不等式？
• RQ3 在何种Stein核条件下，会涌现出正的Cheeger等周常数？
• RQ4 当Stein核一致有界或次线性时，可推导出何种集中不等式？
• RQ5 如何控制随机变量的拉普拉斯变换，以实现一般性集中结果的推导？

主要发现

• 具有有限一阶矩和连通支撑集的测度，满足以Stein核为权重函数的加权Poincaré不等式。
• 建立了非对称的Brascamp-Lieb型不等式，将Stein核与一维情形下的函数不等式相联系。
• 当Stein核一致有界时，可保证正的Cheeger等周常数，暗示强集中性质。
• 当Stein核一致有界时，可推导出广义Mills型不等式。
• 对于具有次线性Stein核的随机变量的Lipschitz函数，建立了子高斯集中性。
• 当指数矩有限时，通过Stein核的拉普拉斯变换的Legendre-Fenchel变换，表达了一般集中不等式。