[论文解读] Weighted Sets of Probabilities and Minimax Weighted Expected Regret: New Approaches for Representing Uncertainty and Making Decisions

Joseph Y. Halpern, Samantha Leung|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Decision-Making and Behavioral Economics被引用 15

一句话总结

本文引入加权概率集以表示不精确的不确定性，其中每个概率测度均被赋予一个反映其重要性的权重。提出最小最大加权期望遗憾（MWER）作为决策规则，该规则推广了期望效用理论，并为模糊性下的静态与动态选择提供了公理化基础。

ABSTRACT

We consider a setting where an agent's uncertainty is represented by a set of probability measures, rather than a single measure. Measure-by-measure updating of such a set of measures upon acquiring new information is well-known to suffer from problems; agents are not always able to learn appropriately. To deal with these problems, we propose using weighted sets of probabilities: a representation where each measure is associated with a weight, which denotes its significance. We describe a natural approach to updating in such a situation and a natural approach to determining the weights. We then show how this representation can be used in decision-making, by modifying a standard approach to decision making -- minimizing expected regret -- to obtain minimax weighted expected regret (MWER). We provide an axiomatization that characterizes preferences induced by MWER both in the static and dynamic case.

研究动机与目标

• 解决单一概率测度和标准概率集在表示决策中模糊性时的局限性。
• 解决在使用概率集时逐测度贝叶斯更新所引发的问题，此类方法可能导致错误学习和不一致信念。
• 提出一种基于概率测度在不确定性面前的可信度或重要性的原则性方法，为其分配权重。
• 引入并形式化最小最大加权期望遗憾（MWER）作为决策规则，该规则在模糊性下推广了期望效用最大化。
• 在静态与动态决策情境下，为由MWER诱导的偏好提供公理化，确保在不确定性下的一致性和理性。

提出的方法

• 使用加权概率测度集表示不确定性，其中每个测度均与一个权重配对，以表示其相对重要性或可信度。
• 提出一种自然的加权集更新规则，同时尊重权重与证据的可能性，确保信念更新的一致性。
• 将最小最大加权期望遗憾（MWER）定义为一种决策准则，即在所有可能状态和测度中最小化最坏情况下的加权期望遗憾。
• 利用分离超平面定理，建立通过子概率测度集表示偏好的规范表示的存在性。
• 将子概率测度集表征为正规的（凸集、闭集且向下封闭），以确保偏好表示的稳健性与一致性。
• 在集合中至少包含一个正规概率测度的条件下，证明规范表示的唯一性，从而确保唯一决策规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比单一概率测度或无权重测度集更灵活地表示不确定性？
• RQ2 当使用概率集时，是否存在一种一致且原则性的信念更新方法，特别是当逐测度更新失败时？
• RQ3 如何为不同概率测度分配权重，以反映其在决策中相对的可信度或重要性？
• RQ4 能否开发一种决策规则，使其在模糊性下推广期望效用最大化，同时保持稳健性？
• RQ5 在静态与动态设定下，哪些公理条件可表征由最小最大加权期望遗憾（MWER）可表示的偏好？

主要发现

• 加权概率集比无权重集提供了更细致的不确定性表示，允许不同假设之间具有不同的可信度。
• 所提出的加权集更新规则确保了主体能从证据中适当地学习，避免了标准逐测度更新方法的缺陷。
• 最小最大加权期望遗憾（MWER）被证明是一种理性的决策规则，其在所有可能状态和测度中最小化最坏情况下的加权遗憾。
• 通过子概率测度集建立了偏好的规范表示，且当集合中至少包含一个正规概率测度时，该表示具有唯一性。
• 本文在静态与动态决策情境下完整提供了MWER偏好的公理化，表明MWER能够捕捉模糊性下的理性行为。
• 通过调整分离超平面论证，证明了即使在处理子概率测度和非正效用向量时，该表示的唯一性依然成立。