[论文解读] Weighted square function estimates

Rodrigo Bañuelos, Adam Osękowski|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过Bellman函数方法，建立了鞅和Littlewood-Paley平方函数的加权$L^p$-范数的精确不等式，给出了以$A_p$特征$[w]_{A_p}$和指数$p$表示的显式、最优界，且在$p \to 1^+$和$p \to \infty$时对$p$的依赖关系达到最优。关键结果是鞅的平方函数在加权$L^p$空间中的精确估计，其中显式常数$K_p$依赖于$p$。

ABSTRACT

The paper contains the proof of $L^p$-weighted norm inequalities for both, martingales square functions and the classical square functions in harmonic analysis of Littlewood-Paley and Lusin. Furthermore, the bounds are completely explicit and are optimal not only on the dependence of the characteristics of the weight but also on the dependance on $p$, as $p o\infty$. The proof rests on Bellman function method: the estimates are deduced from the existence of an appropriate and rather complicated function of four variables.

研究动机与目标

• 解决关于加权$L^p$-范数不等式对平方函数的开放问题，实现对$A_p$特征$[w]_{A_p}$和指数$p$的最优依赖关系。
• 将先前关于$L^2$-加权不等式的结果推广至整个范围$1 < p < \infty$，并给出显式、最优的常数。
• 通过Bellman函数方法建立统一框架，推导出调和分析中鞅函数与经典平方函数的精确估计。
• 证明界中指数$\max\{1/2, 1/(p-1)\}$为最优，并且常数$K_p$在$p \to 1^+$和$p \to \infty$时的增长率与最优未加权情形一致。
• 证明Littlewood-Paley $g_*$-函数、Lusin面积函数和$g$-函数的界继承了相同的对$[w]_{A_p}$和$K_p$的精确依赖关系。

提出的方法

• 采用Bellman函数方法构造一个四元函数，以编码精确估计，从而推导出加权$L^p$不等式。
• 在连续路径鞅的随机框架下，利用二次变差$\langle X \rangle_t$和通过密度$W$定义的加权$L^p$范数。
• 通过条件$[W]_{A_p} = \sup_t \left\| W_t \mathbb{E}[W^{-1/(p-1)} \mid \mathcal{F}_t]^{p-1} \right\|_\infty < \infty$定义鞅$A_p$权，推广经典$A_p$条件。
• 通过Itô公式和条件数学期望，建立单位圆盘上$f$的调和延拓的平方函数与鞅平方函数之间的联系。
• 利用表示式$g_*^2(f)(e^{i\theta}) = \mathbb{E}_0\left[ \int_0^\tau |\nabla u_f(B_s)|^2 ds \mid B_\tau = e^{i\theta} \right]$，将鞅估计转移到调和分析。
• 将主要鞅估计应用于平方函数的条件数学期望，从而得到$\mathbb{T}$和$\mathbb{R}^n$上$g_*$、$A_\alpha$和$g$函数的精确加权$L^p$界。

实验结果

研究问题

• RQ1 鞅的平方函数的加权$L^p$-范数对$A_p$特征$[w]_{A_p}$和指数$p$的最优依赖关系是什么？
• RQ2 Bellman函数方法如何扩展以在$L^2$情形之外，对平方函数给出精确的$L^p$估计？
• RQ3 当$p \to 1^+$和$p \to \infty$时，算子范数常数$K_p$的最佳可能增长率是什么？在未加权情形下是否最优？
• RQ4 能否将精确的鞅估计转移到经典平方函数，如Littlewood-Paley $g_*$-函数和Lusin面积函数？
• RQ5 对$g_*$、$A_\alpha$和$g$函数的界是否与维数无关？对$n$和$\alpha$的显式依赖关系是什么？

主要发现

• 本文建立了加权$L^p$空间中鞅的精确估计$\| \langle X \rangle_\infty^{1/2} \|_{L^p(W)} \leq K_p [W]_{A_p}^{\max\{1/2, 1/(p-1)\}} \|X_\infty\|_{L^p(W)}$，其中显式常数$K_p$被给出。
• 给出了$K_p$的显式界：当$1 < p \leq 3$时，$K_p = 553(p-1)^{-1}$；当$p \geq 3$时，$K_p = 189p^{1/2}$，且在$p \to 1^+$和$p \to \infty$时达到最优。
• 界中指数$\max\{1/2, 1/(p-1)\}$为最优，并与目前已知的未加权行为一致。
• Littlewood-Paley $g_*$-函数、Lusin面积函数$A_\alpha$和$g$-函数在$\mathbb{T}$和$\mathbb{R}^n$上继承了相同的精确界，具有相同的$K_p$和$[w]_{A_p}$依赖关系。
• 推论表明$\|A\_\alpha(f)\|_{L^p_w(\mathbb{T})} \leq K_p C_\alpha [w]_{A_{p,\mathbb{T}}}^{\max\{1/2, 1/(p-1)\}} \|f\|_{L^p_w(\mathbb{T})}$，且对$g(f)$有类似结果，其中常数显式给出。
• 结果可推广至具有非负 Ricci 曲率的流形，对$g_*$和$g$函数的界与维数无关，而对$A_\alpha$函数的界显式依赖于$n$和$\alpha$。