[论文解读] Weighted sub-laplacians on metivier groups: Essential self-adjointness and spectrum

Calzi, M.|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文证明了在 Métivier 群上，加权次拉普拉斯算子 $L_{w_\alpha}$ 对于 $\alpha \geq 1$ 是本质自伴的，并且完全刻画了当 $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ 时 $L_{w_\alpha}$ 的谱：当且仅当 $\alpha > 2$ 时，谱为纯离散，从而证实了 J. Inglis 的一个猜想。分析基于与薛定谔算子的酉等价性，以及基于子水平集衰减的西蒙准则的广义版本。

ABSTRACT

Let $G$ be a M\'etivier group and let $N$ be any homogeneous norm on $G$. For $\alpha>0$ denote by $w_\alpha$ the function $e^{-N^\alpha}$ and consider the weighted sub-Laplacian $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ associated with the Dirichlet form $\phi \mapsto \int_{G} | abla_\mathcal{H}\phi(y)|^2 w_\alpha(y)\, dy$, where $ abla_\mathcal{H}$ is the horizontal gradient on $G$. Consider $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ with domain $C_c^\infty$. We prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ is essentially self-adjoint when $\alpha \geq 1$. For a particular $N$, which is the norm appearing in $\mathcal{L}$'s fundamental solution when $G$ is an H-type group, we prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ has purely discrete spectrum if and only if $\alpha>2$, thus proving a conjecture of J. Inglis.

研究动机与目标

• 证明在 $\alpha \geq 1$ 时，加权次拉普拉斯算子 $L_{w_\alpha}$ 在 Métivier 群上是本质自伴的。
• 解决 J. Inglis 关于当 $N$ 为 Kaplan 范数时 $L_{w_\alpha}$ 谱的猜想。
• 刻画 $L_{w_\alpha}$ 在 Métivier 群上具有纯离散谱的确切 $\alpha > 0$ 范围。
• 使用势论方法，直接证明当 $0 < \alpha \leq 2$ 时谱的非离散性。

提出的方法

• 基于 $w$ 及其水平导数的可积性与有界性，建立 $L_w$ 本质自伴性的通用准则。
• 利用酉等价性，将 $L_{w_\alpha}$ 转化为 $L^2(G, dy)$ 上的薛定谔算子 $L + V_\alpha$，其中 $V_\alpha = -\frac{1}{4}\frac{|\nabla_H w_\alpha|^2}{w_\alpha^2} - \frac{1}{2}\frac{L w_\alpha}{w_\alpha}$。
• 将 B. Simon 关于薛定谔算子谱离散性的广义版本定理应用于势 $V_\alpha$。
• 通过分析子水平集 $\Omega_{\alpha,M} = \{(x,t) \in G : V_\alpha(x,t) \leq M\}$ 的衰减，确定多项式稀疏性，这是谱离散性的充要条件。
• 利用拟距离估计与柱体包含关系，对大 $|t|$ 时的 $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)|$ 进行上界估计，证明当 $\alpha > 2$ 时有 $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$。
• 证明 $V_\alpha$ 在 $G^*$ 上有下界且连续，从而保证当 $\alpha > 2$ 时 $L_{w_\alpha}$ 存在唯一的自伴扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ 在 Métivier 群上时，对于哪些 $\alpha > 0$，加权次拉普拉斯算子 $L_{w_\alpha}$ 在 $C_c^\infty(G)$ 上是本质自伴的？
• RQ2 当 $N$ 为 Kaplan 范数时，$L_{w_\alpha}$ 的谱是否在 $\alpha > 2$ 时成为纯离散？
• RQ3 当 $N$ 为 Kaplan 范数时，$L_{w_\alpha}$ 的谱在 $0 < \alpha \leq 2$ 时是否非离散？
• RQ4 在薛定谔算子形式下，谱的离散性是否可通过势 $V_\alpha$ 的子水平集衰减来刻画？

主要发现

• 对于所有 $\alpha \geq 1$，加权次拉普拉斯算子 $L_{w_\alpha}$ 在 $C_c^\infty(G)$ 上是本质自伴的。
• 当 $N$ 为 Kaplan 范数时，$L_{w_\alpha}$ 的谱为纯离散当且仅当 $\alpha > 2$，从而证实了 Inglis 的猜想。
• 当 $0 < \alpha \leq 2$ 时，$L_{w_\alpha}$ 的任意自伴扩张均不具有纯离散谱，这是由非紧的预解算子所表明的。
• 与 $L_{w_\alpha}$ 关联的势 $V_\alpha$ 满足：当 $|t|$ 较大时，有 $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$，这仅在 $\alpha > 2$ 时蕴含多项式稀疏性。
• 当 $\alpha > 2$ 时，$L_{w_\alpha}$ 的唯一自伴扩张具有纯离散谱，且对应的半群 $e^{-tL_{w_\alpha}}$ 在 $L^p(w_\alpha)$ 上对所有 $t > 0$ 和 $1 < p < \infty$ 是紧的。
• 当 $\alpha > 2$ 时，$L_{w_\alpha}$ 在 $L^p(w_\alpha)$ 上的谱对所有 $1 < p < \infty$ 是相同的。