[论文解读] Weighted thermodynamic formalism and applications

Julien Barral, De‐Jun Feng|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 23

一句话总结

本文提出了一种用于符号动力系统上渐近次可加势的加权热力学形式化，其中通过一对权重 (a,b) 定义加权拓扑压强，以同时考虑系统的动力学及其因子映射。主要贡献在于在有界畸变条件下建立了加权变分原理、唯一性及吉布斯性质，从而实现了非共形设定下 Birkhoff 平均的多重分形分析及不变集的维数估计。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ and $(Y,S)$ be two subshifts so that $Y$ is a factor of $X$. For any asymptotically sub-additive potential $Φ$ on $X$ and $\ba=(a,b)\in\R^2$ with $a>0$, $b\geq 0$, we introduce the notions of $\ba$-weighted topological pressure and $\ba$-weighted equilibrium state of $Φ$. We setup the weighted variational principle. In the case that $X, Y$ are full shifts with one-block factor map, we prove the uniqueness and Gibbs property of $\ba$-weighted equilibrium states for almost additive potentials having the bounded distortion properties. Extensions are given to the higher dimensional weighted thermodynamic formalism. As an application, we conduct the multifractal analysis for a new type of level sets associated with Birkhoff averages, as well as for weak Gibbs measures associated with asymptotically additive potentials on self-affine symbolic spaces.

研究动机与目标

• 开发一种加权热力学形式化，将经典热力学形式化扩展至非共形系统，特别是自仿射符号空间。
• 解决经典热力学形式化在捕捉非共形不变集与测度几何性质方面的局限性。
• 通过 a-加权熵建立变分原理，同时结合系统上的动力学及其因子映射。
• 证明具有有界畸变的几乎加性势的加权平衡态的唯一性与吉布斯性质。
• 将该框架应用于计算自仿射设定下 Birkhoff 平均的水平集及不变子集的 Hausdorff 维数。

提出的方法

• 将 a-加权拓扑压强 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $ 定义为所有不变测度上 $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $ 的上确界，其中 $ \pi $ 为因子映射。
• 定义 a-加权熵 $ h^{{\bf a}}_\mu(T) = a h_\mu(T) + b h_{\mu \circ \pi^{-1}}(S) $，结合系统及其因子的熵。
• 利用几乎加性势的有界畸变性质，控制柱集测度的渐近行为。
• 应用 Ledrappier-Young 型公式 $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $ 于遍历测度，建立维数与加权熵之间的关系。
• 采用一列逼近测度及拟伯努利性质，将吉布斯性质从逼近势推广至极限势。
• 推导加权压强函数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ 的 Legendre 变换，以表达多重分形水平集的 Hausdorff 维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种加权热力学形式化，以处理经典形式化失效的非共形动力系统？
• RQ2 a-加权压强是否满足变分原理，将其与加权熵及势的平均联系起来？
• RQ3 对于具有有界畸变的几乎加性势，a-加权平衡态是否唯一且具有吉布斯性质？
• RQ4 加权压强函数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ 是否在 $ q $ 上可微，从而支持 Legendre 变换技术？
• RQ5 一个不变测度的典型点集的 Hausdorff 维数是多少？其与 a-加权熵有何关系？

主要发现

• a-加权拓扑压强 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $ 满足变分原理：其等于所有不变测度 $ \eta $ 上 $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $ 的上确界。
• 对于具有有界畸变的几乎加性势，在具有单块因子映射的全移位上，a-加权平衡态唯一且满足吉布斯性质。
• 加权压强函数 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ 关于 $ q $ 可微，从而支持在多重分形分析中使用 Legendre 变换。
• 水平集 $ \{ x : \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \phi(T^i x) = t \} $ 的 Hausdorff 维数由 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $ 的 Legendre 变换给出。
• 对于任意遍历测度 $ \nu $，有 $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $，在加权设定下建立了类似 Ledrappier-Young 的公式。
• 任意不变测度 $ \mu $ 的典型点集的 Hausdorff 维数的精确下界为 $ h^{{\bf a}}_\mu(T) $，且该下界可达到。