[论文解读] Weil-etale Cohomology and Special Values of L-functions

Minh-Hoang Tran|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文为数域环的整数环的开子概形上的强ℤ-构造层构建了Weil-étale上同调与欧拉特征。证明了在s=0处，塔型Artin L函数的特殊值等于相关层的Weil-étale欧拉特征（符号除外），从而给出了一个类似于Ono对代数环面的Tamagawa数公式的公式。

ABSTRACT

We construct the Weil-étale cohomology and Euler characteristics for a subclass of the class of $\mathbb{Z}$-constructible sheaves on an open subscheme of the spectrum of the ring of integers of a number field. Then we show that the special value of an Artin L-function of toric type at zero is given by the Weil-étale Euler characteristic of an appropriate $\mathbb{Z}$-constructible sheaf up to signs. As applications of our result, we will prove a formula for the special value of the L-function of an algebraic torus at zero which is similar to Ono's Tamagawa Number Formula.

研究动机与目标

• 为数域整数环的谱上的ℤ-构造层的一个子类发展Weil-étale上同调理论。
• 定义并研究强ℤ-构造层的Weil-étale欧拉特征，其关键性质包括：归一化、上推兼容性与可乘性。
• 建立Artin L函数在s=0处的特殊值与相关层的Weil-étale欧拉特征之间的精确关系。
• 推导出代数环面在s=0处的L函数特殊值的公式，该公式与Ono的Tamagawa数公式类似。
• 为Lichtenbaum猜想提供证据，即L函数的特殊值被编码在Weil-étale欧拉特征中。

提出的方法

• 基于Lichtenbaum的工作思想，构建Weil-étale上同调复形，适配于非全纯虚数域的情形。
• 将强ℤ-构造层定义为ℤ-构造层的一个子类，其纤维为有限生成阿贝尔群，并具有相容的伽罗瓦作用。
• 利用正规化配对与紧支集上同调，将算术不变量与欧拉特征联系起来。
• 应用附录中关于正合序列的行列式与挠子群阶数的结果，精确计算欧拉特征。
• 运用Artin-Verdier对偶性与étale上同调工具，将L函数的特殊值与上同调不变量联系起来。
• 通过分析与代数技术比较Weil-étale欧拉特征与L函数的首项，建立主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为数域上的ℤ-构造层构建Weil-étale上同调？
• RQ2 Weil-étale欧拉特征必须满足哪些性质，才能成为L函数的有意义不变量？
• RQ3 在s=0处，塔型Artin L函数的特殊值是否等于相关层的Weil-étale欧拉特征？
• RQ4 能否利用Weil-étale上同调为代数环面的L函数导出一个类似Tamagawa数的公式？
• RQ5 Weil-étale欧拉特征与经典不变量（如类数、单位群的正规化子、Tate-Shafarevich群）之间有何关系？

主要发现

• 在s=0处，塔型Artin L函数的特殊值 $ L_S^*(M,0) $ 与Weil-étale欧拉特征 $ \rho_U(j_*M) $ 相等，仅符号可能不同。
• $ L_S(M,s) $ 在s=0处的零点阶数等于 $ \mathrm{Hom}_U(j_*M, \mathbb{G}_m) $ 的 $ \mathbb{Z} $-秩。
• 对于数域 $ K $ 上的代数环面 $ T $，在s=0处的特殊值 $ L_S^*(\hat{T},0) $ 由公式给出，涉及 $ S $-类数 $ h_{T,S} $、$ S $-正规化子 $ R_{T,S} $、单位根个数 $ w_T $，以及Tate-Shafarevich群与伽罗瓦上同调群的阶数。
• $ L_S^*(\hat{T},0) $ 的公式结构与Ono的Tamagawa数公式一致，其中Weil-étale欧拉特征扮演Tamagawa数的角色。
• 对于强ℤ-构造层的某些短正合列，Weil-étale欧拉特征具有可乘性。
• 该构造与有限上推兼容：对于有限态射 $ \pi': V \to U $，有 $ \chi_V(\mathcal{F}) = \chi_U(\pi'_*\mathcal{F}) $。