[论文解读] Weil-Petersson geometry on the space of Bridgeland stability conditions

Yu-Wei Fan, Atsushi Kanazawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文在卡拉比–丘三角范畴的布里吉兰稳定性条件空间上提出了一个韦伊–彼得森度量，建立了弦论Kähler模空间的微分几何框架。它将该度量识别为椭圆曲线自积上的Siegel模簇上的伯格曼度量，并表明在五次三复叠的极大体积极限附近，该度量是庞加莱度量的量子形变，支持镜像对称对偶性。

ABSTRACT

Inspired by mirror symmetry, we investigate some differential geometric aspects of the space of Bridgeland stability conditions on a Calabi-Yau triangulated category. The aim is to develop theory of Weil-Petersson geometry on the stringy Kähler moduli space. A few basic examples are studied. In particular, we identify our Weil-Petersson metric with the Bergman metric on a Siegel modular variety in the case of the self-product of an elliptic curve.

研究动机与目标

• 在卡拉比–丘三角范畴的布里吉兰稳定性条件空间上定义韦伊–彼得森度量，作为弦论Kähler模空间几何的候选。
• 提供一个全局微分几何框架以支持镜像对称，克服局部研究在极大体积极限附近的局限性。
• 通过关键例子（包括阿贝尔曲面和五次三复叠）的显式计算验证该提议。
• 通过要求镜像模空间上韦伊–彼得森几何的等距性，进一步完善猜想的镜像对应关系。
• 建立韦伊–彼得森度量的拉回的非退化性条件，作为猜想的弦论Kähler模空间嵌入的判据。

提出的方法

• 通过布里吉兰稳定性条件空间上的扭曲Mukai配对的虚部定义韦伊–彼得森度量。
• 将稳定性条件的中心电荷用作度量的势函数，利用Mukai配对中的陈示性类和Todd类。
• 应用包含复化Kähler类的指数及来自Gromov–Witten不变量的量子修正的中心电荷公式。
• 显式计算椭圆曲线自积的情况，表明其与$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_2$上的伯格曼度量一致。
• 利用量子修正的中心电荷和在极大体积极限附近的渐近展开分析五次三复叠情形。
• 利用Orlov等价$\mathrm{D^bCoh}(X) \cong \mathrm{HMF}(W)$，通过矩阵因子化范畴探索Gepner点附近的度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在卡拉比–丘范畴的布里吉兰稳定性条件空间上全局定义韦伊–彼得森度量？
• RQ2 该稳定性空间上的度量是否对应于镜像复模空间上的经典韦伊–彼得森度量？
• RQ3 弦论Kähler模空间上的韦伊–彼得森度量是否为五次三复叠在极大体积极限附近的庞加莱度量的量子形变？
• RQ4 五次三复叠的Gepner点附近，韦伊–彼得森度量的行为如何？是否表现出轨道丛奇点？
• RQ5 弦论Kähler模空间上韦伊–彼得森度量的拉回是否保持非退化，从而支持镜像猜想？

主要发现

• 对于自积$A = E_\tau \times E_\tau$，在$\overline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{CY}}(\mathcal{D}_A)\backslash\mathrm{Stab}^+_{\mathcal{N}}(\mathcal{D}_A)/\mathbb{C}^\times$上的韦伊–彼得森度量，与$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_2$上的伯格曼度量等距。
• 五次三复叠的韦伊–彼得森势函数是庞加莱度量的量子形变，其渐近展开为$K_{\mathrm{WP}}(\tau) \sim -\log(\frac{4}{3}H^3\Im(\tau)^3) + \text{常数} + O(q)$。
• 当$q$足够小时，韦伊–彼得森度量是非退化的，意味着到极大体积极限的韦伊–彼得森距离为无穷。
• 在Gepner点附近，由于自同构$\Phi^5 = [2]$诱导的$\mathbb{Z}_5$-对称性（在K-理论上下降为$\mathrm{id}$），该度量预计为轨道丛度量。
• 随着趋近Gepner点，韦伊–彼得森度量的曲率趋于$+\infty$，与镜像对称和量子几何的结果一致。
• 猜想弦论Kähler模空间上韦伊–彼得森度量的拉回是非退化的，为镜像嵌入提供微分几何判据。