[论文解读] Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space I: Curvature properties and Chern forms

Leon A. Takhtajan, Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Dec 8, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文将通用Teichmüller空间 $T(1)$ 确立为一个配备由切空间上 $L^2$ 内积导出的Weil-Petersson度量的复Hilbert流形。证明了 $T(1)$ 是一个具有负Ricci曲率和截面曲率的Kähler-Einstein流形，利用预解核计算其Riemann曲率张量，并推导出通用Teichmüller丛的Mumford-Miller-Morita特征形式，作为应用，得到了有限维Teichmüller空间的显式曲率公式。

ABSTRACT

We prove that the universal Teichmuller space T(1) carries a new structure of a complex Hilbert manifold. We show that the connected component of the identity of T(1), the Hilbert submanifold T_{0}(1), is a topological group. We define a Weil-Petersson metric on T(1) by Hilbert space inner products on tangent spaces, compute its Riemann curvature tensor, and show that T(1) is a Kahler-Einstein manifold with negative Ricci and sectional curvatures. We introduce and compute Mumford-Miller-Morita characteristic forms for the vertical tangent bundle of the universal Teichmuller curve fibration over the universal Teichmuller space. As an application, we derive Wolpert curvature formulas for the finite-dimensional Teichmuller spaces from the formulas for the universal Teichmuller space.

研究动机与目标

• 在通用Teichmüller空间 $T(1)$ 上定义Weil-Petersson度量，该空间本质上是一个Banach流形，其切空间上天然不具备Hermitian度量。
• 通过在切空间上赋予 $L^2$ 内积，使 $T(1)$ 成为一个复Hilbert流形，从而确立其良好的Kähler结构。
• 利用双曲Laplacian的预解核，计算 $T(1)$ 上Weil-Petersson度量的Riemann曲率张量。
• 推导通用Teichmüller丛纤维化中竖直切丛的Mumford-Miller-Morita特征形式。
• 从普遍设定中恢复并推广Wolpert关于有限维Teichmüller空间的曲率公式。

提出的方法

• 通过在通用Teichmüller空间 $T(1)$ 的单位元处切空间上的向量使用Hilbert空间内积来定义Weil-Petersson度量，利用Beltrami微分上的 $L^2$ 估计。
• 利用变分公式和双曲Laplacian在万有覆叠上的预解核，通过多重主值积分表达，计算Riemann曲率张量。
• 通过双曲度量的二阶变分以及包含 $\frac{1}{(z - \bar{w})^2}$ 项的积分核，推导曲率公式。
• 利用Velling-Kirillov辛形式构造通用Teichmüller丛竖直丛的Chern形式 $c_1(V)$，并将其与预解核联系起来。
• 采用单位圆盘 $\mathbb{U}$ 上的复分析方法，利用涉及三重积分形式 $\iint \iint \frac{\mu(w)\overline{\nu(u)}\nu(v)}{(w-\bar{z})^2(w-\bar{u})^2(v-\bar{u})^2(v-\bar{z})^2} d^2v d^2u d^2w$ 的 $L^2$-范数估计，通过Schur型估计进行有界化。
• 通过将 $T(\Gamma)$ 嵌入 $T(1)$ 的方式，将曲率结果推广至有限维Teichmüller空间 $T(\Gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在通用Teichmüller空间 $T(1)$ 上一致地定义Weil-Petersson度量，该空间是Banach流形，且其切空间天然不具备Hermitian度量？
• RQ2 Weil-Petersson度量在 $T(1)$ 上的曲率性质是什么，特别是其Ricci曲率和截面曲率？
• RQ3 如何为 $T(1)$ 上的通用Teichmüller丛纤维化构造Mumford-Miller-Morita特征形式？
• RQ4 能否从 $T(1)$ 上的普遍公式中推导出Wolpert关于有限维Teichmüller空间的曲率公式？
• RQ5 双曲Laplacian的预解核在计算 $T(1)$ 上曲率张量的过程中起什么作用？

主要发现

• 通过切空间上的 $L^2$ 内积，通用Teichmüller空间 $T(1)$ 被赋予Weil-Petersson度量，使其成为一个复Hilbert流形。
• 单位元的连通分支 $T_0(1)$ 是一个拓扑群，Weil-Petersson度量使 $T(1)$ 具备Kähler-Einstein结构。
• 利用双曲Laplacian的预解核，显式计算了 $T(1)$ 上Weil-Petersson度量的Riemann曲率张量。
• $T(1)$ 的Ricci曲率和截面曲率均为负，确认了其双曲性质。
• 通用Teichmüller丛竖直切丛的第一Chern形式 $c_1(V)$ 被识别为Velling-Kirillov辛形式。
• 计算了Mumford-Miller-Morita特征形式，并用其推导出有限维Teichmüller空间 $T(\Gamma)$ 的Wolpert曲率公式作为极限情形。