[论文解读] Well-conditioned multiproduct Hamiltonian simulation

Guang Hao Low, Vadym Kliuchnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文提出了用于哈密顿量模拟的条件良好的多产物公式，结合了产物公式与LCU方法的优点。通过使用低阶产物公式的线性组合，以多项式成本的量子步骤和 Ω(1/log²m) 的成功概率，实现了最优最坏情况门成本 O(t log²(t/ε))，在对数因子范围内达到最优，解决了长期存在的条件不良问题，该问题曾导致高阶公式中出现指数级误差放大和成功概率归零。

ABSTRACT

Product formula approximations of the time-evolution operator on quantum computers are of great interest due to their simplicity, and good scaling with system size by exploiting commutativity between Hamiltonian terms. However, product formulas exhibit poor scaling with the time $t$ and error $ε$ of simulation as the gate cost of a single step scales exponentially with the order $m$ of accuracy. We introduce well-conditioned multiproduct formulas, which are a linear combination of product formulas, where a single step has polynomial cost $\mathcal{O}(m^2\log{(m)})$ and succeeds with probability $Ω(1/\operatorname{log}^2{(m)})$. Our multiproduct formulas imply a simple and generic simulation algorithm that simultaneously exploits commutativity in arbitrary systems and has a worst-case cost $\mathcal{O}(t\log^{2}{(t/ε)})$ which is optimal up to poly-logarithmic factors. In contrast, prior Trotter and post-Trotter Hamiltonian simulation algorithms realize only one of these two desirable features. A key technical result of independent interest is our solution to a conditioning problem in previous multiproduct formulas that amplified numerical errors by $e^{Ω(m)}$ in the classical setting, and led to a vanishing success probability $e^{-Ω(m)}$ in the quantum setting.

研究动机与目标

• 解决高阶产物公式在量子哈密顿量模拟中门成本指数增长和性能差的问题。
• 克服以往多产物公式因条件不良导致的数值不稳定性与指数级小的成功概率问题。
• 开发一种量子算法，同时利用局部系统中的对易性，并实现与时间和误差的近似最优缩放。
• 通过构造性证明，构建具有多项式查询成本和鲁棒成功概率的条件良好多产物公式。

提出的方法

• 提出对称二阶产物公式的线性组合作为多产物公式，由系数 a_j 和指数 k_j 参数化。
• 使用构造性证明表明，任意阶 2m 的条件良好多产物公式存在，其系数和指数均为对数规模。
• 使用鲁棒的无偏振幅放大实现多产物公式，使单步成功概率达到 Ω(1/log²m)。
• 设计使用可编程旋转的量子线路，将查询成本从 ||k||_1 降低至 max_j k_j，实现高效实现。
• 通过对阶数 m 进行优化，通过平衡 m 和开销 O(m² log²m)，实现最坏情况成本 O(t log²(t/ε))。
• 通过确保项的抵消不需指数级精确算术，解决条件不良问题，避免 e^Ω(m) 的误差放大。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造多产物公式，使其量子实现具有多项式成本且成功概率不消失？
• RQ2 是否可以解决高阶多产物公式中的条件不良问题，以防止指数级误差放大和成功概率消失？
• RQ3 是否可能同时实现与时间及误差的最优缩放，并通过利用对易性实现与系统规模的良好缩放？
• RQ4 是否可以将多产物公式的门成本降低至 O(t log²(t/ε))，同时保持精度？

主要发现

• 所提出的条件良好多产物公式实现了最坏情况门成本 O(t log²(t/ε))，在多项式对数因子范围内达到最优。
• 多产物公式单步成本为 O(m² log m)，成功概率为 Ω(1/log²m)，可高效放大。
• 该方法解决了此前导致 e^Ω(m) 误差放大和成功概率 e^−Ω(m) 的条件不良问题。
• 该算法同时利用了局部系统中的对易性，并实现了与时间及误差的近似最优缩放，而此前的方法仅能实现其中一项特性。
• 提供了阶数高达 15 的多产物公式的显式构造，其系数和指数为对数规模，确保了数值稳定性。
• 通过使用可编程旋转的线路优化，将查询成本从 ||k||_1 降低至 max_j k_j，实现了查询复杂度的次对数级改进。