[论文解读] Well-posed Bayesian Inverse Problems: beyond Gaussian priors
本文通过识别似然函数和先验分布满足的条件，证明了在非高斯、凸（对数凹）先验（如高斯先验、Besov先验和层次先验）下，贝叶斯反问题的后验分布存在、唯一且稳定，从而建立了其适定性。此外，本文还提出了一种在巴拿赫空间上构造此类先验的通用方法，使得在 $L^2$ 空间和连续函数空间中能够实现鲁棒推断。
We consider the well-posedness of Bayesian inverse problems when the prior measure has exponential tails. In particular, we consider the class of convex (log-concave) probability measures which include the Gaussian and Besov measures as well as certain classes of hierarchical priors. We identify appropriate conditions on the likelihood distribution and the prior measure which guarantee existence, uniqueness and stability of the posterior measure with respect to perturbations of the data. We also consider consistent approximations of the posterior such as discretization by projection. Finally, we present a general recipe for construction of convex priors on Banach spaces which will be of interest in practical applications where one often works with spaces such as $L^2$ or the continuous functions.
研究动机与目标
- 将贝叶斯反问题的理论基础从高斯先验扩展至凸（对数凹）测度。
- 识别似然函数和先验分布的充分条件，以保证后验测度的存在性、唯一性和稳定性。
- 通过投影方法确保在数据扰动和离散化下后验的近似一致。
- 为 $L^2$ 和连续函数空间中的实际应用，建立在巴拿赫空间上构造凸先验的通用框架。
提出的方法
- 在巴拿赫空间框架下形式化贝叶斯反问题，其中先验测度为对数凹且具有指数尾部。
- 应用变分分析和大偏差理论，在似然函数和先验的正则性条件较弱时，建立后验的适定性。
- 使用基于投影的离散化方法构造后验的致稳近似，确保在数据扰动下收敛。
- 推导出在巴拿赫空间上构造凸先验的一般方法，利用范数和对数凹密度，适用于 $L^2$ 和连续函数空间。
- 通过弱收敛和连续性论证，建立后验对数据扰动的稳定性。
- 利用先验的对数密度确保凸性及指数尾部行为，从而促进后验集中和适定性。
实验结果
研究问题
- RQ1在非高斯先验下，似然函数和先验满足何种条件时，贝叶斯反问题中的后验测度存在且唯一？
- RQ2当先验为非高斯时，如何证明后验在观测数据扰动下保持稳定？
- RQ3能否在无限维设定下，通过基于投影的近似方法构造后验的致稳离散化方案？
- RQ4何种通用构造方法可实现对巴拿赫空间（如 $L^2$ 或连续函数）上凸（对数凹）先验的设计？
- RQ5与高斯先验相比，具有指数尾部的凸先验在后验适定性和实际适用性方面有何表现？
主要发现
- 在似然函数和具有指数尾部的对数凹先验满足较弱条件时，后验测度是适定的——即存在、唯一且稳定。
- 通过弱收敛和后验关于数据的连续性，建立了后验对数据扰动的稳定性。
- 基于投影的离散化方法可产生后验的致稳近似，确保随着离散化维度增加而收敛。
- 本文提出了一种在巴拿赫空间上构造凸先验的通用方法，利用范数和对数凹密度在 $L^2$ 和连续函数空间中定义先验。
- 该框架包含了高斯先验、Besov先验和层次先验等重要先验类作为特例，扩展了其理论依据。
- 本研究将贝叶斯反问题的适定性理论从高斯先验推广至更广范围，使得在具有结构化先验知识的问题中具有更广泛的应用潜力。
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