[论文解读] Well-posedness and existence of an invariant measure for the linearly-damped KdV equations driven by a jump noise

Krutika Tawri, Roger TEMAM+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2026

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一句话总结

论文证明了在李维跳跃噪声驱动、环上线性阻尼KdV方程的路径逐样弱解的全球存在性与唯一性，并在大阻尼下对平方和跳跃存在不变测度。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the linearly damped KdV equation on the one-dimensional torus $\mathbb{T}$, perturbed by a multiplicative Lévy noise. For any damping coefficient $γ> 0$, we establish the existence and uniqueness of a pathwise weak solution with values in $H^2(\mathbb{T})$. In the second part of the paper, we analyze the long-time behavior of these solutions. This study is particularly subtle as the presence of jumps in time can significantly influence the asymptotics. We show, using the techniques of Maslowski and Seidler, that, provided the frictional damping coefficient $γ> 0$ is sufficiently large, the system influenced by square-integrable jumps admits an invariant measure in $H^2(\mathbb{T})$.

研究动机与目标

• 在李维噪声下建立线性阻尼KdV方程的全时间存在性与路径逐样弱解的唯一性。
• 分析长期行为并在当跳跃平方可积时证明存在不变测度（对足够大的阻尼γ）。

提出的方法

• 在一维环上将阻尼随机KdV方程以加性Wiener噪声与李维跳跃项形式化。
• 通过热化正则化与带截断/正则化的Galerkin近似以获得全局解。
• 利用对和保守型泛函的Itô公式推导先验估计与紧性。
• 应用Skorohod表示与Gyöngy–Krylov方法获得唯一的路径逐样解。
• 利用Maslowski–Seidler框架在平方可积的噪声下对大γ存在不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性阻尼KdV在环上是否存在全时间的路径逐样弱解/强解？
• RQ2 在阻尼系数γ与李维噪声系数G、K下，所得到的Markov半群是否存在不变测度？
• RQ3 跳跃如何影响长期行为与稳态存在性，与高斯噪声情形相比有何不同？
• RQ4 正则化-Galerkin方案是否能给出在跳跃存在时的统一先验界？
• RQ5 在大跳跃（K项）下的作用以及如何通过拼接外推将结果推广到一般李维噪声？

主要发现

• 当γ>0且平方可积的情况（K=0）时，阻尼KdV在一般李维噪声驱动下存在且唯一的路径逐样解。
• 通过正则化、Galerkin近似与截断得到H^2(T)全局well-posedness。
• 估计保持与紧性使极限过程成立，从而通过Gyöngy–Krylov得到唯一路径逐样解。
• 在平方可积噪声下，且γ足够大时，在H^2(T)中存在不变测度，利用Maslowski–Seidler框架。
• 通过拼接外推等方法，将平方可积跳跃的处理与大跳跃的处理分离，从而覆盖一般李维噪声。