[论文解读] Well-posedness and large deviation for degenerate SDEs with Sobolev coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了具有Sobolev类漂移和扩散系数的退化随机微分方程（SDEs）的适定性，将DiPerna-Lions理论推广至SDE框架。此外，通过弱收敛方法和指数泛函的变分表示，证明了此类SDE的Freidlin-Wentzell大偏差原理。

ABSTRACT

In this article we prove the existence and uniqueness for degenerate stochastic differential equations with Sobolev (possibly singular) drift and diffusion coefficients in a generalized sense. In particular, our result covers the classical DiPerna-Lions flows and, we also obtain the well-posedness for degenerate Fokker-Planck equations with irregular coefficients. Moreover, a large deviation principle of Freidlin-Wenzell type for this type of SDEs is established.

研究动机与目标

• 为具有Sobolev类漂移和扩散系数的退化SDE建立解的存在性与唯一性，即使系数不规则或不连续。
• 将DiPerna-Lions关于Sobolev向量场的ODE理论推广至Itô与Stratonovich SDE的随机设定。
• 为具有不规则系数的退化SDE证明Freidlin-Wentzell型大偏差原理（LDP），将经典LDP结果推广至退化与奇异情形。
• 通过广义的随机流概念，统一处理具有不规则系数的退化SDE与Fokker-Planck方程。
• 将适定性与LDP结果扩展至漂移在散度上具有多项式增长、且系数属于$W^{1,1}_{\text{loc}}$的情形。

提出的方法

• 使用广义的$\mu$-几乎处处随机流概念来定义具有不规则系数的SDE的解。
• 应用Dupuis和Ellis的弱收敛方法证明大偏差原理，依赖于指数泛函的变分表示。
• 采用布朗运动的线性化技术，在广义意义下连接ODE与SDE的解。
• 采用Crippa-De Lellis方法，通过Hardy-Littlewood极大函数处理漂移与扩散系数的Sobolev正则性。
• 实施$\varepsilon$-正则化过程的扰动论证，构造逼近解序列$X^{\varepsilon}$，其在概率意义下收敛于极限$X^h$。
• 应用Skorokhod表示定理，将控制的弱收敛性提升至新概率空间上的几乎必然收敛，从而支持LDP的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有$W^{1,1}_{\text{loc}}$漂移与扩散系数的退化SDE，即使系数不连续，是否仍可建立适定性？
• RQ2 DiPerna-Lions关于ODE的理论是否可推广至具有Sobolev系数与退化扩散的随机设定？
• RQ3 是否可为具有不规则系数的退化SDE证明Freidlin-Wentzell大偏差原理，特别是当扩散不具均匀非退化性时？
• RQ4 如何通过SDE方法建立具有不规则系数的退化Fokker-Planck方程的适定性？
• RQ5 在处理不规则系数并确保逼近下稳定性方面，$\mu$-几乎处处随机流概念起什么作用？

主要发现

• 本文证明了对于具有$b \in W^{1,1}_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d)$与$\sigma$属于$W^{1,p}_{\text{loc}}$（$p>1$）的退化SDE，存在唯一的$\mu$-几乎处处随机流，即使$\sigma$不连续。
• 适定性结果将经典DiPerna-Lions理论推广至SDE框架，涵盖漂移在散度上具有多项式增长的情形。
• 通过弱收敛方法与指数泛函的变分表示，为这类SDE建立了Freidlin-Wentzell大偏差原理。
• 通过子序列论证与Skorokhod定理，证明了$X^{\varepsilon}$在概率意义下收敛于$X^h$，从而支持LDP的证明。
• 证明依赖于在$L^p$-范数中的统一估计，以及对正则化测试函数$\xi$的梯度与Hessian的有界性，其常数随$\delta \to 0$而衰减。
• 关键估计$\mathbb{E} \int_{B_N \cap G_R^\varepsilon} \sup_t |I_3^\varepsilon(t,x)| \mu(dx) \leq C(\varepsilon)/\delta^3$，其中$C(\varepsilon) \to 0$当$\varepsilon \to 0$，在证明扰动过程收敛中起关键作用。