[论文解读] Well posedness and unconditional non uniqueness for a 2D semilinear heat equation

Slim Ibrahim, Rym Jrad+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中建立了具有指数非线性的二维半线性热方程的局部适定性与无条件唯一性，同时表明当初始数据空间略微扩大至 $H^1$ 之外时，唯一性将丧失。关键结果通过一个可积但不属于 $L^\infty$ 的奇异平稳解实现，利用热算子对 $L^1$ 类型势能的正则化效应。

ABSTRACT

We investigate the initial value problem for a semilinear heat equation with exponential-growth nonlinearity in two space dimension. First, we prove the local existence and unconditional uniqueness of solutions in the Sobolev space $H^1(\R^2)$. The uniqueness part is non trivial although it follows Brezis-Cazenave's proof \cite{Br} in the case of monomial nonlinearity in dimension $d\geq3$. Next, %Following Caffarelli-Vasseur \cite{cv}, we show that in the defocusing case our solution is bounded, and therefore exists for all time. In the focusing case, we prove that any solution with negative energy blows up in finite time. Lastly, we show that the unconditional result is lost once we slightly enlarge the Sobolev space $H^1(\R^2)$. The proof consists in constructing a singular stationnary solution that will gain some regularity when it serves as initial data in the heat equation. The Orlicz space appears to be appropriate for this result since, in this case, the potential term is only an integrable function.

研究动机与目标

• 在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中为具有指数非线性的二维半线性热方程建立局部存在性与无条件唯一性。
• 分析在耗散与聚焦情形下解的长时间行为，证明负能量解有界或在有限时间内爆破。
• 证明当初始数据空间略微扩大至 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 之外时，无条件唯一性将不成立，从而确立唯一性的精确临界阈值。
• 在去掉原点的平面上构造一个奇异平稳解，其可积但不属于 $L^\infty$，用作唯一性失效的反例。

提出的方法

• 在合适的函数空间中利用不动点论证证明 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中的局部存在性与唯一性，借助热半群的正则化性质。
• 利用莫泽-特鲁迪杰不等式控制临界二维情形下的指数非线性项，确保非线性项在 $L^{1+\varepsilon}$ 中有界（$\varepsilon>0$ 足够小）。
• 构造椭圆方程 $-\Delta Q = f(Q)$ 在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 上的奇异平稳解 $Q$，满足 $Q \in \mathcal{L}(B_1)$，即与 $\exp(|x|^2)$ 增长相关的奥尔利茨空间。
• 证明在 $\mathcal{L}(B_1)$ 中的解，其势能项 $f(u)$ 属于 $L^1$，从而可应用布雷齐斯-卡赞韦的热方程正则化结果。
• 对奇异解 $Q$ 应用热流，表明解 $u(t)$ 在 $t>0$ 时变为 $L^\infty$ 中的光滑函数，而 $v(t) \equiv Q$ 保持奇异。
• 在时间加权奥尔利茨空间 $\mathcal{L}_T$ 中半径为 $r$ 的球内使用压缩映射原理，构造一个在小时间 $T$ 内有界于 $L^\infty$ 的解 $u$。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维半线性热方程在指数非线性下，其初值问题在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中是否适定？
• RQ2 尽管在二维情形下缺乏尺度不变性，解在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中的无条件唯一性是否仍成立？
• RQ3 当初始数据空间略微扩大至 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 之外时，唯一性结果是否仍可保持？
• RQ4 奥尔利茨空间 $\mathcal{L}(B_1)$ 在处理指数非线性与奇异初始数据中起何作用？
• RQ5 能否利用奇异平稳解构造同一柯西问题的多个解，从而证明非唯一性？

主要发现

• 具有指数非线性的二维半线性热方程的柯西问题在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中存在唯一局部解，唯一性通过不动点论证与莫泽-特鲁迪杰型估计建立。
• 在耗散情形下，初始数据属于 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 的解有界且全局存在，这是由于能量守恒与 $L^\infty$ 正则化效应。
• 在聚焦情形下，任何初始能量为负的解均在有限时间内爆破，通过 $L^2$-范数的凹性论证证明。
• 当初始数据空间扩大至 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 之外时，无条件唯一性不成立：存在一个奇异平稳解 $Q \in \mathcal{L}(B_1)$，但 $Q \notin L^\infty$，而热流可将其正则化为 $L^\infty$（$t>0$ 时）。
• 通过热流构造的解 $u(t)$ 属于 $L^\infty((0,T);L^\infty)$，而常值解 $v(t) \equiv Q$ 保持奇异，因此 $u \neq v$，从而证明了非唯一性。
• 奥尔利茨空间 $\mathcal{L}(B_1)$ 对于非唯一性结果是最优的，因为它允许势能项 $f(u)$ 属于 $L^1$，同时解在热流作用下获得正则性。